积分的变换原理资料.doc

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1、精品好文档，推荐学习交流§5.4  定积分的换元法一、换元公式【定理】若1、函数在上连续；2、函数在区间上单值且具有连续导数；3、当在上变化时，的值在上变化，且 ，  则有                          (1)证明：(1)式中的被积函数在其积分区间上均是连续，故(1)式两端的定积分存在。且(1)式两端的被积函数的原函数均是存在的。假设是在上的一个原函数，据牛顿—莱布尼兹公式有另一方面，函数的导数为这表明：函数是在上的一个原函数，故有：仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢8精品

2、好文档，推荐学习交流从而有    对这一定理给出几点注解：1、用替换，将原来变量代换成新变量后，原定积分的限应同时换成新变量的限。求出的原函数后，不必象不定积分那样，将变换成原变量的函数，只需将新变量的上下限代入中然后相减即可。2、应注意代换的条件，避免出错。(1)、在单值且连续；(2)、3、对于时，换元公式(1)仍然成立。 【例1】求  【解法一】令 当时，；当时，。又当  时，有 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢8精品好文档，推荐学习交流且变换函数 在上单值，在上连续，由换元公式有 【解

3、法二】令 当时， ；  当时， 。又当时， ，且变换函数在上单值， 在上连续，由换元公式有注意：在【解法二】中，经过换元，定积分的下限较上限大。换元公式也可以反过来，即仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢8精品好文档，推荐学习交流【例2】求解：设，当 时，；当  时， 一般来说，这类换元可以不明显地写出新变量，自然也就不必改变定积分的上下限。二、常用的变量替换技术与几个常用的结论【例3】证明1、若在上连续且为偶函数，则2、若在上连续且为奇函数，则证明：由定积分对区间的可加性有  仅供学习与交流，

4、如有侵权请联系网站删除谢谢8精品好文档，推荐学习交流对 作替换  得故有 若为偶函数，则 若为奇函数，则  【例4】若在上连续，证明：1、仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢8精品好文档，推荐学习交流2、并由此式计算定积分   1、证明：设 ， 2、证明：设 ，   仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢8精品好文档，推荐学习交流 【例5】求 解：令 ，故  评注：这一定积分的计算并未求原函数，只用到了变量替换、定积分性质，这一解法值得我们学习。郑伯克段于鄢初，郑武公娶于申，曰武姜。生庄公

5、及共叔段。庄公寤生，惊姜氏，故名曰寤生，遂恶之。爱共叔段，欲立之。亟请于武公，公弗许。及庄公即位，为之请制。公曰：“制，岩邑也，虢叔死焉，佗邑唯命。”请京，使居之，谓之京城大叔。祭仲曰：“都城过百雉，国之害也。先王之制：大都，不过叁国之一；中，五之一；小，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢8精品好文档，推荐学习交流九之一。今京不度，非制也，君将不堪。”公曰：“姜氏欲之，焉辟害？”对曰：“姜氏何厌之有？不如早为之所，无使滋蔓，蔓难图也。蔓草犹不可除，况君之宠弟乎？”公曰：“多行不义必自毙，子姑待

6、之。”既而大叔命西鄙北鄙贰于己。公子吕曰：“国不堪贰，君将若之何？欲与大叔，臣请事之；若弗与，则请除之。无生民心。”公曰：“无庸，将自及。”大叔又收贰以为己邑，至于廪延。子封曰：“可矣，厚将得众。”公曰：“不义不昵，厚将崩。”大叔完聚，缮甲兵，具卒乘，将袭郑。夫人将启之。公闻其期，曰：“可矣！”命子封帅车二百乘以伐京。京叛大叔须段，段入于鄢，公伐诸鄢。五月辛丑，大叔出奔共。书曰：“郑伯克段于鄢。”段不弟，故不言弟；如二君，故曰克；称郑伯，讥失教也；谓之郑志。不言出奔，难之也。遂寘姜氏于城颖，而誓之白：

7、“不及黄泉，无相见也。”既而悔之。颖考叔为颖谷封人，闻之，有献于公，公赐之食，食舍肉。公问之，对曰：“小人有母，皆尝小人之食矣，未尝君之羹，请以遗之。”公曰：“尔有母遗，繄我独无！”颖考叔曰：“敢问何谓也？”公语之故，且告之悔。对曰：“君何患焉？若阙地及泉，隧而相见，其谁曰不然？”公从之。公入而赋：“大隧之中，其乐也融融！”姜出而赋：“大隧之外，其乐也泄泄。”遂为母子如初。君子曰：“颖考叔，纯孝也，爱其母，施及庄公。《诗》曰：‘孝子不匮，永锡尔类。’其是之谓乎。”仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除

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