积分的变换原理.docx

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1、§5.4定积分的换元法一、换元公式【定理】若1、函数♦/）在［见可上连续;2、函数了二刎1）在区间1％为上单值且具有连续导数；3、当t在四上变化时，工二飙'）的值在［怎切上变化，且（f（a）-a叭=占则有b尸—次=//I口）］〃a⑴证明：（1）式中的被积函数在其积分区间上均是连续，故（1）式两端的定积分存在。且（1）式两端的被积函数的原函数均是存在的。假设尸（工）是/（工）在［应盼上的一个原函数，据牛顿―莱布尼兹公式有bjy（工）心=F⑸一F（a）另一方面，函数①"）=巴的）］的导数为♦⑴=JT凶）WG）这表明：函数①⑶是『

2、在口©上的一个原函数，故有:精品资料（小粒二则£）-①⑺a=一次向］-肛―］-尸（右）-F（a）b自J/Va=J/l

3、【解法一】令m二上当了=1时，f=1.当/=4时，t=2。又当‘巨［1,2］时，有“二人口,4］±=2t且变换函数了二厂在工2］上单值，曲在口2上连续,由换元公式有精品资料2tdt=2[f-ln(l+f)]^=2(1-1113+In2)【解法二】令一七二f当兑二1时，上二一1；当*二4时，十士一2。又当—时,1T二产匕氏4］,松一2t且变换函数二在［一力一1］上单值，成在［一2厂1］上连续,由换元公式有=2[-ln(l-0-f]Z?=2(—山3+2十仙2—1)=2(1-In3+hi2)注息:在【解法二】中，经过换元，定积分的

4、下限较上限大。换元公式也可以反过来，即户A2阴匕（玲去令「二隼33=尹3）/=火6））*F（*）*精品资料=cosxdi--sin^^，二0时，t-i；当o=-J户必=1一般来说，这类换元可以不明显地写出新变量，自然也就不必改变定积分的上下限。5SOC歼-2/Oi5「16下-JCOSZdf(cosX)=COSX=0L6Jo二、常用的变量替换技术与几个常用的结论【例3】证明f{x}dx-Zf{x}dx1、若/“)在'■区打上连续且为偶函数，则一值°「Jf(式)七二。2、若在［一24］上连续且为奇函数，则一&证明：由定积分对

5、区间的可加性有(70(7精品资料［/(工)t£r=

6、/(x)也+f/(x)t£x—a.0精品资料0心心对一值作替换^=-t得00aafy(x)cix=一J1(一方)或=—f(-jQ}dx一出a0Q故有aaf(x)dx=杰若r⑸为偶函数，则c+f（x）="口）aaf{x}dx=Zf(x)dx—a.0若F5)为奇函数，则八一力+/⑴二°a1.Jf(x)dx-0林与节致在函义偶定的昇上来同枳用区定可成的论点数结原函该于奇02,求J/q心所用的替换x=r虽然简单但却常用.-a【例4】若N'）在1°』上连续，证明:灯才22Jr

7、（sin/汝=f（c^x}dx精品资料1、0°精品资料x■/(sinx)tix=-J/(sinjrydx2、02°7xsinx*J2~^并由此式计算定积分Ol+CBX1、证明：设2，小二一出灯鬟觉20用22J/(siiiA)(^=J/[sin(f)](-)=f/(cos?)dt=J『(cosx)於0y2002、证明：设工二吁，也二一就dnf^r-i)](—c!t)=J(yr—t)f(sint)dt03冗v开=Jtf(sint)a(t=/(sinx)；ic-[xf(sinx)ifx:口…u007TRJ/Giu犬)杰0精品

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