积分变换的matlab求解

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1、第15章积分变换的MATLAB求解编者Outline15.1傅里叶变换15.2拉普拉斯变换15.3Z变换15.1傅里叶变换1.傅里叶变换的概念若函数在上满足下列条件：在任一有限区间上满足Dirichlet条件；在上绝对可积，即积分收敛，则有成立，而左端的在它的间断点处，应以来代替。在上述积分公式中，我们称积分运算为取函数的傅里叶变换，记为，即其中称为的像函数，此时有，称该积分运算为取函数的傅里叶逆变换，记为即2.傅里叶变换的MATLAB符号求解MATLAB符号运算工具箱中提供了专门的求取函数的傅里叶变换及逆变换的函数：fo

2、urier和ifourier。3.傅里叶变换的性质线性性质：设，是复常数，则此即函数的线性组合的傅氏变换等于函数的傅氏变换的相应线性组合。同样道理，傅氏逆变换也具有类似的线性性质，即对称性质：若已知，则有位移性质：设，则有坐标缩放性质：设a是不等于零的实常数，若，则乘积定理：设则有其中分别表示的复共轭函数。由上述乘积性质可以引出一个非常重要的结论——巴塞瓦（Parseval）定理若记，则有4.多维傅里叶变换在n维空间中，设n元函数，在中有定义，它的傅氏变换及其逆变换定义如下：5.离散傅里叶变换一维离散傅里叶变换在信号与系统

3、中，分析连续时间信号可以采用连续傅里叶变换。但在大多数情况下，数字系统只须处理有限长的离散信号，因此必须将连续时间信号离散化，并建立对应的傅里叶变换。假设时间信号的时限于，再通过时域采样将离散化，就可以得到有限长离散信号，记为。设采样周期为，则时域采样点数，则有对上式的两边取傅里叶变换有这就是在时域采样后的连续傅里叶变换，也就是离散时间傅里叶变换，它在频域依然是连续的。多维离散傅里叶变换假设是一矩阵则其二维离散傅里叶变换的定义如下：其对应的逆变换为式中，和分别为正变换核和逆变换核，为空间域采样值，为频率采样值。6.傅里叶变

4、换的应用非周期函数的频谱：对于非周期函数，称的傅氏变换为的频谱函数，其模称为的频谱。它是频率的连续函数。谱线（即的图像）是连续变化的，所以称之为幅值频谱，它是一种连续谱。傅氏变换在求解微分、积分方程中的应用：运用Fourier变换的先行性质、微分性质和积分性质，对欲求解的方程两端取Fourier变换，将其转化为像函数的代数方程，通过解代数方程与求Fourier逆变换就可以得到原方程的解。这种解法如下图图微分、积分方程的Fourier变换解法傅氏变换在求解偏微分方程中的应用：运用Fourier变换求解偏微分方程的定解问题类似

5、于上图所示的三个步骤，即先将定解问题中的未知函数看做某一自变量的函数，对方程及定解条件关于该自变量取Fourier变换，把偏微分方程和定解条件化为像函数的常微分方程的定解问题；再根据这个常微分方程和相应的定解条件，求出像函数；然后再取Fourier逆变换，得到原定解问题的解。这里，要求变换的自变量在内变换；如要求变换的自变量在内变化，则根据定解条件的情形可运用Fourier正弦变换或Fourier余弦变换来求解该偏微分方程的定解问题。15.2拉普拉斯变换1.拉普拉斯变换的概念设在上有定义，且积分（s是复参变量）对复平面上某

6、一范围s收敛，则由这个积分确的函数称为函数的拉普拉斯变换，简称为的拉氏变换，并记为，即上式中，称为的像函数，称为的像原函数。若是的拉氏变换，则称为的拉氏逆变换（或称为像原函数），记为2.拉普拉斯变换的MATLAB符号求解MATLAB中提供了专门的拉氏变换及其逆变换的求解函数：laplace和ilaplace。3.拉普拉斯变换的性质线性性质:设，是复常数，则此即函数的线性组合的拉氏变换等于函数的拉氏变换的相应线性组合。同样道理，拉氏逆变换也具有类似的线性性质，即微分性质：若，此处假设存在且连续，则积分性质：设，则位移性质：若

7、，则有延迟性质：若，又时，则对于任一非负实数，有或相似性质：设，，则该性质类似于傅里叶变换的坐标缩放性质。初值和终值定理：初值定理：若，且存在，则有终值定理：若，且的所有奇点都在s平面的左半部，则4.拉普拉斯的应用微分、积分方程的拉氏变换解法:微分、积分方程的拉氏变换解法如下图所示偏微分方程的拉氏变换解法：运用拉氏变换求解偏微分方程的定解问题完全类似于偏微分方程的傅氏变换解法，只不过拉氏变换要求变换的自变量在内变化。因此，这样的定解问题可以运用拉氏变换，也可以运用傅氏正弦或余弦变换求解。线性定常系统的复域分析：设线性定常系

8、统的一般形式为式中，。等式左边是系统输出变量及其各阶导数，等式右边是系统输入变量及其各阶导数，且等式左右两边的系数均为实数。假设输入信号和输出信号及其各阶导数在时的值均为0，则对方程两端均进行拉氏变换，并记，则有我们称在输入激励、输出响应的初始条件为零的前提下，输出的拉氏变换与输入的拉氏变换的比称为该系