《积分的MATLAB求解》PPT课件.ppt

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1、第8章积分的MATLAB求解编者Outline8.1不定积分8.2定积分8.3反常积分8.4积分的数值求解8.1不定积分1.不定积分的定义如果在区间上，可导函数的导函数为，即对任一，都有或那么函数就称为在区间上的原函数。函数的带有任意常数项的原函数称为在区间上的不定积分，记作其中记号称为积分号，称为被积函数，称为被积表达式，称为积分变量，也即。2.不定积分的几何意义函数的一个原函数的图像称为的一条积分曲线。对于任意常数，表示的是一族曲线，我们称这个曲线族为的积分曲线族。因此，在几何上表示的是的积分曲线族，而正是积分曲线的斜率。积分

2、曲线族中的每一条曲线在对应于同一横坐标处的切线都有相同的斜率，所以在这些点处，它们的切线相互平行，并且任意两条积分曲线的纵坐标之间相差一个常数。因此，积分曲线族中的每一条曲线都可以由曲线沿轴上下移动而得到，如图所示。图曲线的积分曲线族3.不定积分的MATLAB符号求解MATLAB符号运算工具箱中提供了int函数来求函数的不定积分，该函数的调用格式为：int(fx,x)%求函数f(x)关于x的不定积分8.2定积分1.定积分的定义设函数在上有界，在中任意插入若干个分点把区间分成个小区间各个小区间的长度依次为在每个小区间上任取一点，作函

3、数值与小区间长度的乘积，并作和记，如果不论对怎样划分，也不论在小区间上点怎么选取，只要当时，和总趋于确定的极限，那么称这个极限为函数在区间上的定积分，记作，即其中叫做被积函数，叫做被积表达式，叫做积分变量，分别叫做积分下限和积分上限，叫做积分区间。2.定积分的几何意义设在区间上非负、连续。由直线及曲线所围成的图形，我们称之为曲边梯形。我们知道，矩形的高是不变的，它的面积可按公式矩形面积=高×底来定义和计算。而曲边梯形在底边上各点处的高在区间上是变动的，故它的面积不能直接按上述公式来定义和计算。然而由于曲边梯形的高在区间上是连续变化

4、的，在很小一段区间上它的变化很小，近似于不变。因此，如果把区间划分为许多小区间，在每个小区间上用某一点处的高度来近似代替同一个小区间上的窄曲边梯形的变高，那么，每个窄曲边梯形就可近似地看成这样得到的窄矩形，如图所示。图曲边梯形面积的近似求法这样我们就可以将所有这些窄矩形面积的和作为曲边梯形面积的近似值。即这也就是说，若在上，则定积分在几何上表示由曲线、轴及两条直线所围成的曲边梯形的面积，这就是定积分的几何意义。若在上，则定积分在几何上表示由曲线、轴及两条直线所围成的曲边梯形的面积的负值；若在上既取得正值又取得负值时，定积分表示轴上

5、方图形面积减去轴下方图形面积所得之差。3.定积分的MATLAB符号求解MATLAB中用于求解定积分的符号函数仍是int，此时，其调用格式为：int(fx,x,a,b)%求函数f(x)关于x的在区间[a,b]上的定积分4.定积分的几何应用1.平面图形面积的计算设在区间上曲线位于之上，如图a）所示，则这两条曲线与直线和所包围的面积为更一般地，若没有指定两条曲线的位置关系，则它们所包围的面积为有时平面图形的边界曲线方程是关于的单值函数，这样，介于曲线和与直线和所包围的面积（示意图如图b）所示）为a）曲线和所夹图形b）曲线和所夹图形图平面

6、图形的面积对于采用极坐标的函数，计算由极坐标方程所表示的曲线与矢径和之间的面积为2.立体体积的计算立体体积的计算一般分为两类：一类是平行截面面积为已知的立体的体积计算，另一类是旋转体的体积计算。平行截面面积为已知的立体的体积如果已知某立体上垂直于一定轴的各个截面的面积，那么，这个立体的体积可以用定积分来计算。如图所示，取上述定轴为轴，并设该立体在过点且垂直于轴的两个平面之间。以表示过点轴的截面面积。假定为的已知的连续函数。这时，取为积分变量，它的变化区间为；立体中相应于上任一小区间的一薄片的体积，近似于底面积为，高为的扁柱体的体积

7、，即体积元素以为被积表达式，在闭区间上作定积分，便得所求立体的体积图平行截面面积已知的立体体积旋转体的体积旋转体都可以看作是由连续曲线、直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的立体。现在我们考虑用定积分来计算这种旋转体的体积。如图1所示，取横坐标为积分变量，它的变化区间为。相应于上的任一小区间的窄曲边梯形绕轴旋转而成的薄片的体积近似于以为底半径、为高的扁圆柱体的体积，即体积元素以为被积表达式，在闭区间上作定积分，便得所求旋转体体积为类似地，我们可以推出由曲线、直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的旋转体（如图2所示）的体积为

8、图1平面图形绕x轴旋转的旋转体图2平面曲线绕y轴旋转的旋转体3.平面曲线弧长的计算设曲线弧由参数方程给出，其中在上具有连续导数，且不同时为零。现在来计算这曲线弧的长度。取参数为积分变量，它的变化区间为，相应于上任一小区间的小弧段的长度近似等于对应的