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1、积分问题的解析解不定积分的推导：格式：F=int(fun,x)例：用diff()函数求其一阶导数，再积分，检验是否可以得出一致的结果。>>symsx;y=sin(x)/(x^2+4*x+3);y1=diff(y);>>y0=int(y1);pretty(y0)%对导数积分sin(x)sin(x)-1/2------+1/2------x+3x+1对原函数求4阶导数，再对结果进行4次积分>>y4=diff(y,4);>>y0=int(int(int(int(y4))));>>pretty(simple(y0))sin(x)------------2x+4x+
2、3例:证明>>symsax;f=simple(int(x^3*cos(a*x)^2,x))f=1/16*(4*a^3*x^3*sin(2*a*x)+2*a^4*x^4+6*a^2*x^2*cos(2*a*x)-6*a*x*sin(2*a*x)-3*cos(2*a*x)-3)/a^4>>f1=x^4/8+(x^3/(4*a)-3*x/(8*a^3))*sin(2*a*x)+...(3*x^2/(8*a^2)-3/(16*a^4))*cos(2*a*x);>>simple(f-f1)%求两个结果的差ans=-3/16/a^4定积分与无穷积分计算:格式：I=in
3、t(f,x,a,b)格式：I=int(f,x,a,inf)例：>>symsx;I1=int(exp(-x^2/2),x,0,1.5)％无解I1=1/2*erf(3/4*2^(1/2))*2^(1/2)*pi^(1/2)>>vpa(I1,70)ans=1.085853317666016569702419076542265042534236293532156326729917229308528>>I2=int(exp(-x^2/2),x,0,inf)I2=1/2*2^(1/2)*pi^(1/2)多重积分问题的MATLAB求解例：>>symsxyz;f0=-4*
4、z*exp(-x^2*y-z^2)*(cos(x^2*y)-10*cos(x^2*y)*y*x^2+...4*sin(x^2*y)*x^4*y^2+4*cos(x^2*y)*x^4*y^2-sin(x^2*y));>>f1=int(f0,z);f1=int(f1,y);f1=int(f1,x);>>f1=simple(int(f1,x))f1=exp(-x^2*y-z^2)*sin(x^2*y)>>f2=int(f0,z);f2=int(f2,x);f2=int(f2,x);>>f2=simple(int(f2,y))f2=2*exp(-x^2*y-z^2
5、)*tan(1/2*x^2*y)/(1+tan(1/2*x^2*y)^2)>>simple(f1-f2)ans=0顺序的改变使化简结果不同于原函数，但其误差为0，表明二者实际完全一致。这是由于积分顺序不同，得不出实际的最简形式。例：>>symsxyz>>int(int(int(4*x*z*exp(-x^2*y-z^2),x,0,1),y,0,pi),z,0,pi)ans=(Ei(1,4*pi)+log(pi)+eulergamma+2*log(2))*pi^2*hypergeom([1],[2],-pi^2)Ei(n,z)为指数积分，无解析解，但可求其数值
6、解：>>vpa(ans,60)ans=3.10807940208541272283461464767138521019142306317021863483588例：求解>>f=inline('exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y)','x','y');>>y=dblquad(f,-2,2,-1,1)y=1.57449318974494任意区域上二元函数的数值积分(调用工具箱NIT），该函数指定顺序先x后y.例>>fh=inline('sqrt(1-x.^2/2)','x');%内积分上限>>fl=inline('-sqrt(1-x.^2/2)'
7、,'x');%内积分下限>>f=inline('exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y)','y','x');%交换顺序的被积函数>>y=quad2dggen(f,fl,fh,-1/2,1,eps)y=0.41192954617630解析解方法：>>symsxy>>i1=int(exp(-x^2/2)*sin(x^2+y),y,-sqrt(1-x^2/2),sqrt(1-x^2/2));>>int(i1,x,-1/2,1)Warning:Explicitintegralcouldnotbefound.>InD:MATLAB6p5toolbox
8、symbolic@symint.matline58ans=i
