积分变换公式.docx

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1、积分变换傅立叶级数ft=a02+n=1∞(ancosnπtl+bnsinnπtl)a0=1l-llfτdτan=1l-llfτcosnπτldτbn=1l-llfτsinnπτldτn=1,2,…傅立叶积分公式f(ω)=-∞+∞f(τ)e-jωτdτft=12π-∞+∞f(ω)ejωtdω狄里克雷积分公式0+∞sinωωdω=π2Fe-βt2=πβe-ω24β对称公式f(t)↔f(ω)f(t)↔2πf(-ω)欧拉公式cosnω0t=12(ejnω0t+e-jnω0t)sinnω0t=j2(e-jnω0t-ejnω0t)fω为ft的频谱密度函数，模

2、fω

3、称为振幅频

4、谱，简称频谱，φω=argf(ω)为相位频谱。δ函数iδt-t0=+∞t=t00t≠t0ii-∞+∞δt-t0dt=1δ函数的筛选性质abδt-t0φtdt=φt0,a

5、-ω01↔2πδ(ω)Fδt-t0=e-jωt0=1Ht↔1jω+πδ(ω)Fejat=2πδ(ω-a)Fcosat=π[δω+a+δ(ω-a)]Fsinat=πj[δω+a-δ(ω-a)]sgnt=1,t>0-1,t<0sgnt=2Ht-1Fsgnt=2jωFe-βtH(t)=1β+jωδat=1

6、a

7、δt,a≠0δt2-a2=12

8、a

9、δt+a-δt-a,a≠0傅立叶变换性质线性性质Fαft+βg(t)=αfω+βg(ω)F-1αfω+βg(ω)=αft+βg(t)位移性质Fft-t0=e-jωt0fωF-1fω-a=ejatft相似性质Ff(at)=1

10、a

11、

12、fωa微分性质Ff’(t)=jωfωFf(n)(t)=(jω)nfωF-jtf(t)=ddωfω(-j)nFtnf(t)=dndωnfωFtnf(t)=jndndωnfω积分性质F-∞tfτdτ=1jωfω+πf0δ(ω)卷积ft*gt=-∞+∞fτgτ-tdτf*g=g*ff*g*h=f*g*hf*g+h=f*g+f*h卷积定理Fft*gt=fωgωFf1t*f2t*⋯*fnt=f1(ω)f2(ω)⋯fn(ω)Fftgt=12πfω*gωFf1tf2t⋯fnt=1(2π)n-1f1(ω)*f2(ω)*⋯*fn(ω)δt-a*ft=ft-aδt-a*δt-b=δt

13、-a-b拉普拉斯变换Fs=Lft=0+∞f(t)e-stdtLft=F[fte-βtHt]逆变换反演积分公式ft=L-1Fs=12πjβ-j∞β+j∞Fsestdst>0周期函数的拉普拉斯变换：f(t)在[0,+∞)内是以T为周期的函数Fs=11-e-sT0Tfte-stdt拉普拉斯变换性质1.线性性质L[αft+βgt]=αFs+βGs;L-1aFs+βGs=αft+βgt2.相似性质Lf(at)=1aFsaa>01.微分性质导数的象函数Lf't=sFs-f(0)Lfn(t)=snFs-sn-1f0-sn-2f'(0)-⋯-fn-1(0)象函数的导数L[-tf(

14、t)]=F's(-1)nLtnf(t)=Fns2.积分性质积分的象函数L0tftdt=1sF(s)L0tdt0tdt⋯0tftdt=1snF(s)象函数的积分Lf(t)t=s∞FsdsLf(t)tn=s∞dss∞ds⋯s∞Fsds位移性质Leatft=Fs-aa是复常数延迟性质Lft-τHt-τ=e-sτF(s)卷积与卷积定理Lf1t*f2t*⋯*fnt=F1(s)F2(s)⋯Fn(s)初值定理与终值定理初值定理f0+=limt→0+f(t)=lims→∞sF(s)终值定理f+∞=limt→+∞f(t)=lims→0sF(s)Res>-c解析幂函数的拉式变换Ltm

15、=Γm+1sm+1Res>0若当定理s=β+Rej(θ+π2)0≤θ≤π在区域Re(s)≤β内，lims→∞Fs=0，函数F(s)est沿半圆CR的积分存在limR→∞CRF(s)estds展开定理F(s)在复平面s上有限个奇点在Res<β内，设s→∞时，Fs→0ft=12πjβ-j∞β+j∞Fsestds=k=1nResFsest,sk常见拉氏变换：LH(t)=1sRes>0L-11s=1t>0eat↔1s-aRes>a;e-at↔1s+aRes>-a;ejωt↔1s-jωRes>0sinat↔as2+a2Res>0;cosat↔ss2+a2Res>0δt-a↔

16、e-at(