复变函数与积分变换 柯西积分公式.ppt

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1、§3.3柯西积分公式一、柯西积分公式二、平均值公式三、最大模原理DC一、柯西积分公式Gd定理如果函数在区域D内解析，在边界C上连续，证明(思路)如图，以为圆心，d为半径作圆G，则左边右边

2、右边-左边

3、则P66定理3.7(跳过?)在边界C上连续，则一、柯西积分公式定理如果函数在区域D内解析，DdGC证明(思路)(当充分小时)

4、右边-左边

5、即只要d足够小，所证等式两边的差的模可以任意小，由于左边与右边均为常数，与d无关，故等式成立。在边界C上连续，则一、柯西积分公式定理如果函数在区域D内解析，DdGC意义将换成，积分变量换成，解析

6、函数在其解析区域内的值完全由边界上的值确定。换句话说，解析函数可用其解析区域边界上的值以一种特定的积分形式表达出来。则上式变为是多连域。一、柯西积分公式注意柯西积分公式中的区域D可以应用推出一些理论结果，从而进一步认识解析函数。比如对于二连域D,其边界为，DC1反过来计算积分则P67推论2在上解析其中C为：例计算(1)(2)C1C2210(1)解(柯西积分公式)(2)(柯西积分定理)(函数在上解析)C1C2令解则令C1：C2：其中C如图所示。例计算C201则(复合闭路定理)(柯西积分公式)C203-3解试考虑积分路径为的情况。

7、P67例3.10部分二、平均值公式如果函数在内解析，定理(平均值公式)在上连续，qxRyC证明由柯西积分公式有则有P67推论1(连续函数的平均值)D三、最大模原理如果函数在D内解析，且不为常数，定理(最大模原理)证明(略)则在D内没有最大值。理解如图，函数在解析区域dGdGdGD内任意一点的函数值是以该点为圆心的圆周上所有点的函数值的平均值，因此，不可能达到最大，除非为常数。P68定理3.8三、最大模原理在区域D内解析的函数，如果其模在D内达到最大值，推论1则此函数必恒为常数。若在有界区域D内解析，在D上连续，则推论2在D的边

8、界上必能达到最大值。P70推论1P70推论2由最大模原理及其推论可知，证在上的最大值必在上取得，因此，当时，有即是r的单调上升函数。即P70例3.11休息一下……附：连续函数的平均值(以平均气温为例)设某时间段内的温度函数为将n等份，等分点为记即tab平均气温平均气温(返回)