积分变换复习指导文档.docx

《积分变换复习指导文档.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、积分变换复习提纲一、傅里叶变换的概念Fourier积分定理定理若/⑴在(-00,+00)上满足条件：⑴在任一有限区间上满足Dirichlet条件;2JC)在无限区间+00)上绝对可积，则有/(0=—£严仏(1.4)厶/II—_而左端的/⑴在它的间断点(处，应以W+°)；2—°)来代替在(-8,+8)绝对可积是指的£j/(z)Id卅攵敛注意:定理的条件是充分的.•Fourier正弦积分公式2甘00•=—丄])/(r)sin69rdrsin^d69当/⑴是偶函数时，/«=-71/(r)cos6yrdr

2、coscotda)例1.设/'⑴=

3、cotfdc()=L注:Fourier积分表达式可以推证一些广义积分的结果.如:当/=附Dirichlet积分.1・Fouriei•变换的概念我们知道，若函数了⑴满足Fourier积分定理的条件，则在HO的连续点处，有“)=2口匚心)J石”尹仏(1.9)(1.10)(1・9)式叫做代)的Fourier变换式.(1.10)式为F(co)的Fourier逆变换式.可以看出f⑴与F(劲可相互转换，分别记为FS)=歹典)］和妙"T［F@)］当/⑴为奇函数时，山/⑴的Fourier正弦积分

4、公式可得,/(r)sindrsin/fd//“丿的Fourier正弦变换Fg)=打/⑴］F(0丿的Fourier正弦逆变换/(g叮迟(劲］当/⑴为偶函数时，由/"丿的Fouriei'余弦积分公式2n8/(r)cos69rdrcosa)tda)f(t)的Fourier^弦变换F(0丿的Fourier余弦逆变换设Fg)=歹［爪切迟(劲二歹⑺⑴］,/〃是常数则歹［砒(0+0£(r)］=(01+0歹［£("］・同样,Fourier逆变换亦具有类似的线性性质，即，才-1［亦宓)+0尸2@)］=妙⑴+朋⑴/(

5、f)沿/轴向左或向右位移(0的Fourier变换2.位1等于/⑴的Fourier变换乘以因子或「隔.歹［口±/。)］=戶％歹3.微分性质一个函数的导数的Fourier变换等于这个函数的Fourier变换乘以因子jco・如果/(f)在(-co,+oo)上连续或只有有限个可去间断点,且当l/lT+00时J(/)tO,贝I」歹［广⑴冃0歹［/(切・若已知函数力(纨f2(t则积分厂71(”2(/-厂)氏4oo称为函数/卫)与內。的卷积,记为/1(。为(0即/1(O*/2W=★卷积的加法分配律/1(彷[/

6、2⑴龙⑴⑴協⑴土齐⑴也⑴证：根据卷积的定义久⑴*S(t)+厶⑴]=r厂)+人(—cm厂J—00aXqq=『/i(C/2(》—厂)氏+『f^T)f3(t-T)drJ-ocJ—co=/1W*A(0+/1W*AW.2•卷积定理琳(劲=•刁加)]，坊(劲=•几£(纫,则歹M(0*fi(01=耳9)•巧9),或[耳(効迟(効]=加)*必0■二、拉普拉斯变换的概念•L[f(t)]=[f(t)e-5tdt=F(s)此为函数f(t)的Laplacer变换式•记为=£[/«]•若F(s)是f(t)的Laplace

7、变换，则称f(t)为F⑸Laplace的逆变换(或称为象原函数)旷1记为，f(t)二[F(s)]三、几个常用函数的拉普拉斯变换£[”（＜）]=f[i]T£[sin^]=7+F;£[C0S^]-/+P四、拉普拉斯变换的性质(下文都用L表示£)•微分性(时域)：若L[f(t)]=F(s)则有L[f'(t)]=sF(s)L[f(t)]=s2F(s)-sf(O)-广(0)•微分性(频域)：-L[tf(t)]=口(-0"口)]=刊($)•积分性(时域):若L[f(t)]=F(s)则有厶[打(Mr申•积分性(

8、频域)：口字]叮F审(收敛)•位移性(时域)：L[ea,f(t)]=F(s-a)•延迟性若L[f(t)]=F(s),又t<0j时f(t)=0则对于任一非负实数r，有L[f(t-r)]=严F(s)或旷[er⑶]=f(t-r)七、卷积及卷积定理•f(0*f2⑴=匚/；(MQ-r)dr厶皿⑴*厶⑴］二片⑶迟⑶•L_,[F,(5)•F2(5)]=/,(0*f2(0例3若「2(：+])，求f(t).由卷积定理可得件=7^7IF=7e?TI于是有爪。=^f2W=sinr由卷积定理可得f(t)