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《复变函数与积分变换公式与复习指导》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、复变函数复习一复数的概念1•复数的概念：z=x4-iy,是实数，兀=Re（z）,y=Im（z）•产=一1.注：两个复数不能比较大小.2.复数的表示1）模：z=jx2+y2；2）p誦：在z工0吋，矢量与兀轴正向的夹角，记为（多值函数）；主值arg（z）是位于（-兀，刃中的幅角。3）arg（z）与arctan—之间的关系如下:xV当兀〉0,argz=arctan—；xVy>0,argz=arctan—+/r当xvO」xyy<0,argz=arctan—~7tx4）三角表示：z=^（cos&+isin&）,其中=argz；注：中间一定是“+”号。5）指数表示：z=忖”"，其中&=argz。
2、（-）复数的运算1•加减法：若石=西+级必2=兀2+少2，则勺±乙2=（西±兀2）+'（）1±儿）2.乘除法：1)若©=西+,§=花+0?2'则牡2=（兀宀—X）'2）+'（兀2>1+西儿）；©_兀
3、+纫_（兀1+纫）（兀2一助）_兀內+）卩2「」兀2一）‘2州——=、.rI5兀2+^2（x2+z>2）（x2-z>2）卅+y；兀；+）彳2）若Z]=匕]
4、护,E=匕2〔严，则©二'
5、^2
6、^
7、3.乘幕与方根1)若z=
8、z
9、(cos0+isin0)=忖幺"，则zn=zn(cosnO4-isinnO)=
10、z
11、n严«2)z=
12、z
13、(cos0+isin6^)=
14、z
15、e'0,则V7=
16、zp（cos&
17、+2"龙+注^&+2*龙伙=0,1,2・・・川一1）（有斤个相异的值）I"nJ（三）复变函数1.复变函数：w=/（z）,在几何上可以看作把Z平面上的一个点集D变到w平面上的一个点集G的映射.2.复初等函数1）指数函数：於二『（cosy+isiny）,在z平而处处可导，处处解析；且（ez>）=ez0注：，是以2加为周期的周期函数。（注意与实函数不同）3)对数函数：Lnz=Inz+z(argz+2ktt)伙二0,±1,±2…)(多值函数);主值：Inz=Inz+iargz。（单值函数）厶必的每一个主值分支Inz在除去原点及负实轴的z平而内处处解析，且（加z）‘=-；注：负复数也有对数存在。（
18、与实函数不同）3）乘幕与冨函数：ab=ebhl（i（qhO）；{=严（bO）注：在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，口（?y=/7?-4）三角函数:sinz=2Z,cosz=ei:+e~iz_2-sinzcosztgz=,ctgz=-—coszsinzsinz,cosz在z平面内解析，fi.（sin=cosz,（cosz）=-sinz注：有界性
19、sinz
20、21、cos^
22、<1不再成立：（与实函数不同）4）双曲函数s加奇函数，c加是偶函数°sh乙ch乙在z平而内解析，冃（s加）=chz,（chz）=shzo（四）解析函数的概念1.复变函数的导数1）点可导：佗）=］曲企竺上av07ZA
23、z2）区域可导：/（z）在区域内点点可导。2.解析函数的概念1)点解析：/(z)亦知及其5的邻域内可导，称.f(z)在5点解析；2)区域解析：/(z)在区域内每一点解析，称/(Z)在区域内解析；3)若/(Z)在Z。点不解析，称Z。为/(Z)的奇点；1.解析函数的运算法则：解析函数的和、差、积、商(除分母为零的点)仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数；(五)函数可导与解析的充要条件1.函数可导的充要条件：/(z)=«(x,y)+iv(x,y)在z=x+iy可导<=>w(x,y)和u(x,y)在(兀,y)可微,且在(x,y)处满足C-D条件:ou_dvox労du_dvdydx此吋，有
24、广⑴=色+型dxdx2.函数解析的充要条件：/(z)=讥兀」)+"(兀y)在区域内解析ow(x,y)和u(兀y)在(x,y)在£>内可微，且满足C-D条件:du_5vdxdyOUdvdydx此时广⑵du•內=Fldxdx:若u(x,y),v(x9y)在区域Z)具有一阶连续偏导数，则u(x,y),u(%,y)在区域£>内是可微的。因此在使川充要条件证明时，只要能说明具有一阶连续偏导.H.满足C-R条件时，函数/(z)=u+iv—定是可导或解析的。3.函数可导与解析的判别方法1)利用定义(题H要求用定义，如第二章习题1)2)利用充要条件(函数以/(^)=w(x,y)+fv(x,y)形式给出,
25、如第二章习题2)3)利用可导或解析函数的四则运算定理。(函数/(J是以z的形式给出，如第二章习题3)(六)复变函数积分的概念与性质1.复变函数积分的概念：J/(z)r/z=lirnX/(^)A^,c是光滑曲线。k=l注：复变函数的积分实际是复平血上的线积分。2.复变函数积分的性质1)打⑵=J'(z)dz(c~'与c的方向相反)；2)(z)+0g(z)]dz=a[.f(z)dz+0k(z)衣,a,0是常数;3)若曲线crtlq与―连接
