积分变换复习课.ppt

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1、第二章Laplace变换复习课2011-12-261.问题的提出Fourier变换存在的两个条件:1.f(t)在任一有限区间上满足Dirichlet条件;2.f(t)在无限区间(-,+)上绝对可积.不满足Fourier变换的条件,将不存在Fourier变换.第二个条件太高,许多函数不满足,怎么办?问题1.问题2.Fourier变换要求函数在整个数轴有定义,但在实际问题中,时间t只在>0时有意义,定义区间不满足,怎么办?如何克服这两个缺点,使这些函数的Fourier变换得以存在?2tj(t)Otj(t)u(t)e-btO3设函数f(t)当t0时有定义,而且积分在s的某一域内收敛,则由此积分

2、所确定的函数可写为记为F(s)=L[f(t)]F(s)称为f(t)的Laplace变换(或称为象函数).f(t)称为F(s)的Laplace逆变换(或象原函数).记为f(t)=L--1[F(s)]也可记为f(t)F(s).称此式为函数f(t)的Laplace变换式,定义4例1求单位阶跃函数根据Laplace变换的定义,有这个积分在Re(s)>0时收敛,解:为什么?5例2求指数函数f(t)=ekt的Laplace变换(k为实数).这个积分在Re(s)>k时收敛,而且有注意：k为复数时上式也成立,只是收敛区间变为Re(s)>Re(k).解:根据Laplace变换的定义,有62.当t时,f(

3、t)的增长速度不超过某一指数函数,即存在常数M>0及c0,使得

4、f(t)

5、Mect,0t<(增大不超过指数级,c为增长指数)在半平面Re(s)>c上一定存在,右端的积分在Re(s)c1>c上绝对收敛而且一致收敛,并且在Re(s)>c的半平面内,F(s)为解析函数.2.Laplace变换的存在定理若函数f(t)满足:1.在t0的任一有限区间上分段连续；则f(t)的Laplace变换7MMectf(t)tO81.此定理的条件是充分的.2.定理中的条件2,即函数的增大不超过指数级比Fourier积分定理中的绝对可积要弱得多.例如,不满足Fourier积分定理,但它们可以满足Laplac

6、e变换存在定理中的条件2.因为,即M=1,c=0;即M=1,c=0;即M=1,c=1.(t充分大时)注:9例3求f(t)=sinkt(k为实数)的Laplace变换.101.线性性质若a,b是常数L[f1(t)]=F1(s),L[f2(t)]=F2(s),则有L[af1(t)+bf2(t)]=aF1(s)+bF2(s)L-1[aF1(s)+bF2(s)]=af1(t)+bf2(t)此线性性质根据Laplace变换的定义就可得出.Laplace变换的性质11若L[f(t)]=F(s),则有L[f'(t)]=sF(s)-f(0)2.微分性质证根据分部积分公式和Laplace变换公式一个函数的导数的

7、Laplace变换等于这个函数的Laplace变换乘以s再减去函数的初值.12...L[f(n)(t)]=sL[f(n-1)(t)]-f(n-1)(0)=snF(s)-sn-1f(0)-sn-2f'(0)-...-f(n-1)(0)特别,当初值f(0)=f’(0)=...=f(n-1)(0)=0时,有L[f'(t)]=sF(s),L[f''(t)]=s2F(s),...,L[f(n)(t)]=snF(s)推论若L[f(t)]=F(s),则L[f''(t)]=sL[f'(t)]-f'(0)=s{sL[f(t)]-f(0)}-f'(0)此性质可以使我们有可能将f(t)的微分方程转化为F(s)的代

8、数方程.13-k2L[coskt]=s2L[coskt]-s例1利用微分性质求函数f(t)=coskt的Laplace变换.分析:考虑函数二阶导数的特殊性.解:又f(0)=1,f'(0)=0,因此移项化简得14若L[f(t)]=F(s),3.积分性质15若L[f(t)]=F(s),则有L[eatf(t)]=F(s-a)(Re(s-a)>c).因此L[eatf(t)]=F(s-a)(Re(s-a)>c)4.位移性质证根据Laplace变换式,有上式右方只是在F(s)中将s换为s-a,16函数f(t)的Laplace变换,实际上就是f(t)u(t)e-bt的Fourier变换.已知函数f(t),它

9、的象函数F(s)为如何求它的象原函数f(t)?由Laplace变换的概念可知,即:Laplace逆变换17因此,按Fourier积分公式,在f(t)的连续点就有等式两边同乘以ebt,则182.而积分路线中的实部b则有一些随意,但必须满足的条件就是e-btf(t)u(t)的0到正无穷的积分必须收敛.Laplace反演积分1.右端的积分路线是沿着平行于虚轴的方向从虚部的负无穷积分到虚部的正无穷.注:1