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1、积分变换第一章付里叶变换第二章拉普拉斯变换§1.1付氏积分§1.2付氏变换§1.3付氏变换的公式和性质§1.4卷积与相关函数§2.1拉普拉斯变换的概念§2.2拉氏变换的基本公式和性质§2.3拉氏逆变换§2.4拉氏变换的应用(一)付氏级数称实系数R上的实值函数f（t）在闭区间[a,b]上满足狄利克莱（DirichLet）条件，如果它满足条件：⑴在[a,b]上或者连续，或者只有有限个第一类间断点；⑵f（t）在[a,b]上只有有限个极值点。§1.1付氏积分第一章付里叶变换从T为周期的周期函数fT(t)，如果在上满足狄利克雷条件，那么在上fT(t)可以展成付氏级数，在fT(t)的连续点处，级
2、数的三角形成为其中称为频率，频率ω对应的周期T与fT(t)的周期相同，因而称为基波频率，nω称为fT(t)的n次谐波频率。(二)付氏级数的复指数形式在fT(t)的间断点t0处，式(1.1.1)的左端代之为即(三)付氏积分任何一个非周期函数f(t)都可以看成由某个周期函数fT(t)当T→+∞时转化而来的。这个公式称为函数f(t)的付里叶积分公式付氏积分定理若f(t)在(-∞，+∞)上满足下列条件：2°则积发存在,并且在f(t)的连续点处1°在任一有限区间满足狄利克雷条件；而在f(t)的间断点t0处，应以代替该式左端的f(t)。注非周期函数满足付氏积分定理的条件1°，才能保证函数在任意有
3、限区间上能展为付氏级数。满足付氏积分定理的第2°条,才能保证存在。§1.2付氏变换(一)定义1.1.1设f(t)和F(ω)分别是定义在R上的实值和复值函数，称它们是一组付里叶变换对，如果成立并称F(ω)为f(t)的象函数或付里叶变换，记为F[f(t)]；称f(t)为F(ω)的象原函数或付里叶逆变换，记为F-1[F(ω)]例1求矩形脉冲函数的付氏变换及其积分表达式。tf(t)(二)尤拉公式及尤拉公式推出的几个公式2.2单位脉冲函数及其傅氏变换在物理和工程技术中,常常会碰到单位脉冲函数.因为有许多物理现象具有脉冲性质,如在电学中,要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的电流;在力学
4、中,要研究机械系统受冲击力作用后的运动情况等.研究此类问题就会产生我们要介绍的单位脉冲函数.在原来电流为零的电路中,某一瞬时(设为t=0)进入一单位电量的脉冲,现在要确定电路上的电流i(t).以q(t)表示上述电路中的电荷函数,则当t0时,i(t)=0,由于q(t)是不连续的,从而在普通导数意义下,q(t)在这一点是不能求导数的.如果我们形式地计算这个导数,则得这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够表示这样的电流强度.为了确定这样的电流强度,引进一称为狄拉克(Dirac)的函数,简单记成d-函数:有了这种函数,对于许多集中于一点或一瞬时的量,例如点电荷,点热源,集中于一点的
5、质量及脉冲技术中的非常窄的脉冲等,就能够象处理连续分布的量那样,以统一的方式加以解决.de(t)1/eeO（在极限与积分可交换意义下）工程上将d-函数称为单位脉冲函数。可将d-函数用一个长度等于1的有向线段表示,这个线段的长度表示d-函数的积分值,称为d-函数的强度.tOd(t)1d-函数有性质：可见d-函数和任何连续函数的乘积在实轴上的积分都有明确意义。(三)δ函数及其付氏变换1.δ函数的定义(1)(狄拉克)满足一列两个条件的函数称为δ函数。(2)普通函数序列极限形式的定义其中(3)广义函数形式的定义若f(t)为无穷次可积函数，则d-函数的傅氏变换为:于是d(t)与常数1构成了一傅
6、氏变换对.证法2：若F(w)=2pd(w),由傅氏逆变换可得例1证明：1和2pd(w)构成傅氏变换对.证法1：3.δ函数在积分变换中的作用(1)有了δ函数，对于点源和脉冲量的研究就能够象处理连续分布的量那样，以统一的方式来对待。(2)尽管δ函数本身没有普通意义下的函数值，但它与任何一个无穷次可做的函数的乘积在(-∞,+∞)上的积分都有确定的值。(3)δ函数的付氏变换是广义付氏变换，许多重要的函数，如常函数、符号函数、单位阶跃函数、正弦函数、余弦函数等是不满足付氏积分定理中的绝对可积条件的(即不存在)，这些函数的广义付氏变换都可以利用δ函数而得到。由上面两个函数的变换可得这种频谱图称为
7、离散频谱，也称为线状频谱(四)付氏变换的物理意义——频谱1.非正弦的周期函数的频谱例4求正弦函数f(t)=sinw0t的傅氏变换。tpp-w0w0Ow
8、F(w)
9、(一)常用函数付里叶变换公式§1.3付氏变换的公式和性质例5证明：证：(三)付氏变换的性质1．线性性质。设F=，F=，和为常数，则b2．位移性质该性质在无线电技术中也称为时移性质。3．对称性质若，则4．相似性质若，则5．象函数的位移性质若，则象函数的位移性质在无线电技术中也称为频移性质。6.翻转
