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1、第四章积分变换法4.1傅立叶变换的概念和性质4.2傅立叶变换的应用4.3拉普拉斯变换的概念和性质4.4拉普拉斯变换的应用定义：假设I是数集(实数或者复数)，K(s,x)为上的函数,这里[a,b]为任意区间。如果f(x)在区间[a,b]有定义,且K(s,x)f(x)为[a,b]上可积函数,则含参变量积分定义了一个从f(x)到F(s)的变换,称为积分变换,K(s,x)为变换的核。常见的积分变换有傅立叶变换和拉普拉斯变换。4.1傅立叶变换的概念和性质傅立叶变换记作：假设f(x)在上有定义，在上绝对可积，在任一有限区间上有有限个极大值、极小值，且至多有有限个第一类不连续点，则函数称为f(t)的傅立
2、叶变换。即是区间上，核为的积分变换4.1傅立叶变换的概念和性质傅立叶逆变换定义为：记作：当f(x)满足上述条件时，有傅立叶积分定理：t是连续点t是第一类间断点特别的，当f(x)连续时4.1傅立叶变换的概念和性质傅立叶变换具有如下性质:1)线性性质：设f,g是绝对可积的函数，为数2)微分运算性质4.1傅立叶变换的概念和性质3)对傅立叶变换后的函数求导数4)卷积性质设f(x)，g(x)在上绝对可积,定义卷积：4.1傅立叶变换的概念和性质5)乘积运算傅立叶变换在乘积运算和卷积运算之间建立了一个对偶关系。6)平移性质4.1傅立叶变换的概念和性质思考：对于u(x,y),若以y为参数,对x作傅立叶变换
3、由傅立叶变换的线性性质同理,是参数4.1傅立叶变换的概念和性质4.2傅立叶变换的应用例用积分变换法解方程：解：由自变量的取值范围，对x进行傅立叶变换，设那么方程转变为4.2傅立叶变换的应用解得为了求出原方程的解,下面对关于进行傅立叶逆变换.t是参数！4.2傅立叶变换的应用例用积分变换法解方程：解：作关于的傅立叶变换。设方程变为4.2傅立叶变换的应用可解得而则上式两边关于x作逆傅立叶变换，得4.2傅立叶变换的应用4.2傅立叶变换的应用例用积分变换法求解初值问题：解：作关于x的傅立叶变换。设t是参数4.2傅立叶变换的应用于是原方程变为满足初始条件4.2傅立叶变换的应用的通解为由初始条件ω是参数
4、解常微分方程：4.2傅立叶变换的应用取傅立叶逆变换，得其中：注意到而4.2傅立叶变换的应用所以取傅立叶逆变换，得t是参数4.2傅立叶变换的应用所以取傅立叶逆变换，得t是参数4.2傅立叶变换的应用4.3拉普拉斯变换的 概念和性质拉普拉斯变换傅立叶变换要求函数f在有定义并且绝对可积。很多常见函数，如常函数，多项式，三角函数等都不满足条件。以时间t为自变量的函数在区间也无意义。这些都限制了傅立叶变换的应用。为此引入拉普拉斯(Laplace)变换。拉普拉斯变换的积分核为（单边）拉普拉斯变换：4.3拉普拉斯变换的概念和性质在复参数p的某个区域内收敛。（单边）拉普拉斯变换对函数f(t)的要求：定理：若
5、函数f(t)满足下列条件：在任意有限区间上分段连续的增长速度不超过一个指数函数，即则：的Laplace变换在半平面存在。4.3拉普拉斯变换的概念和性质基本性质：1)基本变换:4.3拉普拉斯变换的概念和性质2)线性性质3)微分性质若则4.3拉普拉斯变换的概念和性质4)积分性质6)位移性质7)延迟性质5)对拉普拉斯变换求导4.3拉普拉斯变换的概念和性质8)卷积性质应用：拉普拉斯变换既适用于常微分方程(如P38),也适用于偏微分方程。4.3拉普拉斯变换的概念和性质例解常微分方程的初值问题:解：对t进行拉普拉斯变换,设则原方程变为4.3拉普拉斯变换的概念和性质对p进行拉普拉斯逆变换,考虑到有4.3
6、拉普拉斯变换的概念和性质例设，求解常微分方程的初值问题:解对进行拉普拉斯变换,设,则4.3拉普拉斯变换的概念和性质于是原方程变为由上式得:对进行拉普拉斯逆变换,得4.3拉普拉斯变换的概念和性质拉普拉斯变换的反演公式：4.3拉普拉斯变换的概念和性质利用留数基本定理，可得4.3拉普拉斯变换的概念和性质4.3拉普拉斯变换的概念和性质4.3拉普拉斯变换的概念和性质4.4拉普拉斯变换的应用例：设x>0,y>0,求解定解问题解：对y进行拉普拉斯变换。设则方程变为：4.4拉普拉斯变换的应用而变为解ODE:对p取拉普拉斯逆变换，得4.4拉普拉斯变换的应用解问题归结为求解下列定解问题:例一条半无限长的杆，端
7、点温度变化已知，杆的初始温度为0，求杆上温度分布规律。对t进行拉普拉斯变换怎么变换？为什么？知道的值了4.4拉普拉斯变换的应用分析由于，故不能用傅立叶变换，而要用拉普拉斯变换。如果对进行拉普拉斯变换，由于方程中出现了,在变换中需要知道以及的值；如果对进行拉普拉普拉斯变换，由于方程中出现了，在变换中需要知道。因此，我们对进行拉普拉斯变换。4.4拉普拉斯变换的应用对t进行拉普拉斯变换，设于是方程变为这是二阶常微分方程的边值问
