积分变换法解定解问题课件.ppt

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1、第三章　积分变换法积分变换法是通过积分变换简化定解问题的一种有效的求解方法．对于多个自变量的线性偏微分方程，可以通过实施积分变换来减少方程的自变量个数，直至化为常微分方程，这就使问题得到大大简化，再进行反演，就得到了原来偏微分方程的解．利用积分变换，有时还能得到有限形式的解，而这往往是用分离变量法不能得到的．特别是对于无界或半无界的定界问题，用积分变换来求解，最合适不过了．（注明：无界或半无界的定界问题也可以用行波法求解）用积分变换求解定解问题的步骤为：第一：根据自变量的变化范围和定解条件确定选择适当的积分变换；对于自变量在内变化的定解问题（如无界域的

2、坐标变量）常采用傅氏变换，而自变量在第二：对方程取积分变换，将一个含两个自变量的偏微分方程化为一个含参量的常微分方程；第三：对定解条件取相应的变换，导出常微分方程的定解条件；第四：求解常微分方程的解，即为原定解问题的变换；第五：对所得解取逆变换，最后得原定解问题的解．内变化的定解问题（如时间变量）常采用拉氏变换．§3.1付里叶变换法1.付里叶级数周期函数的付里叶级数(2)奇、偶周期函数的付里叶级数奇周期函数偶周期函数2.付里叶积分及付里叶变换(1)实数形式的付里叶积分及变换问题：是定义在的非周期函数，不满足付里叶展开条件，如何展开？办法：取上的一段为，

3、将延拓为以为周期的函数后进行付里叶级数展开，然后取，即得的付里叶级数展开式结果：ω为参量非周期函数实数形式的付里叶积分非周期函数实数形式的付里叶变换奇函数时偶函数时付里叶积分还可写为：振幅谱相位谱(2)复数形式的付里叶积分及变换实数形式的付里叶积分复数形式的付里叶积分结果：复数形式的付里叶变换复数形式的付里叶积分注意：付里叶变换定义式积分前的系数各书的写法不完全相同，但只要此两系数的乘积等于即可，且两积分号内的指数因子和也可以同时改为和(3)付里叶变换的基本性质②导数③积分④相似①线性返回⑦卷积定义卷积⑤延迟⑥位移例1用付里叶变换求解波动定解问题3.积

4、分变换法解定解问题解：应用傅里叶变换，即用遍乘定解问题中的各式，并对空间变量x积分（这里把时间变量看成参数），按照傅里叶变换的定义，我们采用如下的傅氏变换对：简化表示为对其它函数也作傅氏变换，即为于是原定解问题变换为下列常微分方程的定解问题上述常微分方程的通解为代入初始条件可以定出这样延迟积分对逆傅氏变换，结果是这正是前面学过的的达朗贝尔公式.解：变换例2用付里叶变换求解热传导定解问题已知逆变换交换积分次序§3.2拉普拉斯变换法1.定义付氏变换对函数的要求比较苛刻，函数必须在(-∞,∞)内绝对可积并且在无穷区间有定义，这样常见的函数如常数、多项式及三角

5、函数等都不符合要求。为了克服付氏变换的这些缺点，人们适当地把付氏变换加以改造，提出了拉普拉斯变换。函数，当时称为函数的拉普拉斯变换，简称拉氏变换（或称为像函数是一个足够大的能使函数的付氏变换存在的实数。，称为原函数2.拉普拉斯变换的性质②导数③积分④相似①线性⑦卷积的卷积⑤延迟⑥位移其中：称为例3求解硅片的恒定表面浓度扩散问题已知解：时，有限有限边界条件例4用拉普拉斯变换求解波动定解问题解：时，应有限应有限阶跃函数：例5用拉普拉斯变换求解已知解：