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1、第八讲定解问题复习——定解问题的导出及解决李小燕泛定方程定解问题演化方程稳定方程线性边界条件自然边界条件初始状态初始速度波动方程输运方程拉普拉斯方程泊松方程第一类第二类周期性有界性第三类定解条件边界条件初始条件定解问题的导出步骤确定物理量:速度、位移、…研究邻近点的相互作用（抓主要矛盾，忽略次要矛盾）短时间内这种相互作用对所研究物理量的影响将这种影响用数学关系式表达出来，并简化整理→数学物理方程定解条件引入定解条件的必要性：从物理多角度看：物理方程仅能表示一般性，要个性化物体的运动需要附加条件。从数学上看：微分方程的解的任意性也需要附加条件来确定，这些附加的条件就是初
2、始条件和边界条件，统称为定解条件。初始条件：能够用来说明某一具体物理现象初始状态的条件。边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上的约束情况的条件。初始时刻的温度分布：B、热传导方程的初始条件C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件不含初始条件，只含边界条件条件A、波动方程的初始条件1、初始条件——描述系统的初始状态系统各点的初位移系统各点的初速度称物理过程初始状态的数学表达式为初始条件。初始条件应该完全描写初始时刻（t=0时）介质内部及边界上任意一点的状况。初始条件的个数：等于方程中关于时间偏导数的阶数(2)自由端：x=a端既不固定，又不受位移方向力的作用。2、边界条
3、件——描述系统在边界上的状况A、波动方程的边界条件(1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：或：(3)弹性支承端：在x=a端受到弹性系数为k的弹簧的支承。或第一类边界条件第二类边界条件第三类边界条件B、热传导方程的边界条件(1)给定温度在边界上的值(S为给定区域v的边界)(2)绝热状态(3)热交换状态牛顿冷却定律：单位时间内从物体通过边界上单位面积流到周围介质的热量跟物体表面和外面的温差成正比。交换系数；周围介质的温度,第一类边界条件第二类边界条件第三类边界条件C、拉普拉斯方程的边界条件其他边界条件：1、衔接条件背景：系统中出现跳跃点。研究方法：具体问题具体分析，
4、在跳跃点处寻找连续条件。2、自然边界条件边界值为有限的：周期边界条件：二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：二阶常系数齐次线性方程的标准形式特征方程特征根1、有两个不相等的实根齐次方程的通解为特征根为2、有两个相等的实根特征根为齐次方程的通解为3、有一对共轭复根特征根为齐次方程的通解为二阶常系数齐次线性微分方程的解：齐次边界条件齐次方程的解偏微分方程常微分方程1初始条件齐次边界条件常微分方程2解1解2本征解解1×解2通解＝本征解分离变量确定叠加系数泛定方程边界条件本征值本征函数Tnk=1,2,3…k=0,1,2,3k=0,1,2,3k=0,1,2,3…泛定方程边界条件本
5、征值本征函数Tnk=1,2,3…k=0,1,2,3k=0,1,2,3k=0,1,2,3…泛定方程边界条件本征值本征函数Ynk=1,2,3…k=0,1,2,3k=0,1,2,3k=0,1,2,3…用分离变量法求解定解问题的步骤定解问题选择合适的坐标系边界条件非齐次转换为齐次边界条件非齐次方程，齐次定解条件特征函数法齐次方程，齐次边界条件分离变量法非齐次方程，齐次边界条件特解法齐次边界非齐次初始条件下非齐次方程的解法：方程类型Tn通解波动方程输运方程齐次定解条件非齐次方程的解：方程类型Tn波动方程输运方程齐次边界非齐次初始条件非齐次方程的解：设定19泊松方程（特解法）待求
6、20非齐次边界条件的处理一、一般处理方法21二、特殊处理方法在圆形域求解：圆域内：圆域外：长为的杆，上端固定在电梯天花板，杆身竖直，下端自由。电梯下降，当速度为时突然停止，求解杆的振动。磁致伸缩换能器、鱼群探测换能器等器件的核心是两端自由的均匀杆，它作纵振动。研究两端自由棒的自由纵振动,即定解问题研究细杆导热问题,初始时刻杆的一端温度为零度,另一端跟外界绝热，杆上初始温度为,试求无热源时细杆上温度的变化。长为l，两端固定的弦，在单位长度上受横向力g(x)sinwx的作用下做小振动，已知弦的初始位移和速度分别为j(x)和f(x)，求其横振动的规律。有一长为l，侧面绝热而
7、初始温度为零度的均匀细杆，它的一端保持温度始终为零度，而另一端温度随时间直线上升，求杆的温度分布。12345长为的杆，上端固定在电梯天花板，杆身竖直，下端自由。电梯下降，当速度为时突然停止，求解杆的振动。解：例题I+II26磁致伸缩换能器、鱼群探测换能器等器件的核心是两端自由的均匀杆，它作纵振动。研究两端自由棒的自由纵振动,即定解问题【解】由边界条件知特征值和特征函数例题由初始条件得把右边的函数展成傅里叶余弦级数,比较两边的系数，得由叠加原理，一般解为【解】杆上温度满足下列泛定方程和定解条件研究细杆导热问题,初始时刻杆的一端温度为零度,另一端跟外界绝
