资源描述：
《积分变换1.1Fourier积分.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、(3)(4)(5)1积分变换工程数学（第四版）2第一章Fourier变换§1Fourier积分§2Fourier变换§3Fourier变换的性质§4卷积与相关函数§5Fourier变换的应用3§1.1Fourier积分4定理组成三角级数的函数系证:正交,上的积分等于0.即其中任意两个不同的函数之积在5上的积分不等于0.且有但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在同理可证:6研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期内的情况即可,通常研究在闭区间[-T/2,T/2]内函数变化的情况.并非理论上的所有周期函数都可
2、以用傅里叶级数逼近,而是要满足狄利克雷(Dirichlet)条件,即在区间[-T/2,T/2]上：1,连续或只有有限个第一类间断点2,只有有限个极值点这两个条件实际上就是要保证函数是可积函数。也就是在函数的连续点处，级数可以展开成三角形式。7第一类间断点和第二类间断点的区别:第二类间断点第一类间断点8不满足狄氏条件的例:而在工程上所应用的函数,尤其是物理量的变化函数,全部满足狄氏条件.实际上不连续函数都是严格上讲不存在的,但经常用不连续函数来近似一些函数,使得思维简单一些.存在第二类间断点在靠近0处存在着无
3、限多个极值点。9因此,任何满足狄氏条件的周期函数fT(t),可表示为三角级数的形式如下:(1)为求出a0，两边同时积分，得即10即(2)为求an，先两边同乘，然后两边同时积分11即(3)同理,为求bn,先两边同乘，然后两边同时积分12最后可得:其中13为了今后应用上的方便，下面把Fourier级数的三角形式转换为复数形式。由Euler公式，则有14如果令15则可以合写为一个式子，若令则上式可以写为这就是Fourier级数的复指数形式，或者写为16接下来讨论非周期函数的展开问题。 任何一个非周期函数f(t)都
4、可以看成是由某个周期函数fT(t)当T时转化而来的。 作周期为T的函数fT(t),使其在[-T/2,T/2]之内等于f(t),在[-T/2,T/2]之外按周期T延拓到整个数轴上,则T越大,fT(t)与f(t)相等的范围也越大,这就说明当T时,周期函数fT(t)便可转化为f(t),即有17Otf(t)OtfT1(t)OtfT2(t)18由公式可知当n取一切整数时，数轴上，两个相邻的点的距离为所对应的点便均匀分布在整个19如图{Ow1w2w3wn-1wn{{{w所以f(t)又可写为20则有当当t固定时，
5、是参数的函数，记为，即21此公式称为函数f(t)的Fourier积分公式。应该指出，上式只是从右端从形式上推出来的，是不严格的。至于一个非周期函数f(t)在什么条件下，可以用Fourier积分公式来表示，有接下来的收敛定理。又最后可得22Fourier积分定理若f(t)在(-,+)上满足条件:1.f(t)在任一有限区间上满足Dirichlet条件;成立，而左端的f(t)在它的间断点t处，应以来代替。在绝对可积是指收敛。2.f(t)在无限区间(-,+)上绝对可积,则有23(1.4)式也可以转化为三角形
6、式24是ω的偶函数，可得又因是ω的奇函数，所以25当f(t)为奇函数时，利用三角函数的和差公式，在实际应用中，常常要考虑奇函数和偶函数的分别是关于的奇函数和偶函数。因此又f(t)是奇函数，则和Fourier积分公式。上面式子可以写为26当f(t)为偶函数时，同理可得它们分别称为Fourier正弦积分公式和Fourier余弦积分公式。特别，若f(t)仅在上有定义，且满足Fourier积分存在定理的条件，我们可以采用类似于Fourier级数中的奇延拓或偶延拓的方法，得到f(t)相应的Fourier正弦积分展开式
7、或Fourier余弦积分展开式27例求函数的Fourier积分表达式。解根据Fourier积分公式的复数形式，有28例求函数的Fourier积分表达式。解根据Fourier积分公式的复数形式，有当时，f(t)应以代替.29例求函数的Fourier积分表达式。也可以根据f(t)的奇偶性来计算。因为f(t)为偶函数，所以由Fourier余弦积分公式，可得，30函数的图形为1-1otf(t)131可得这就是著名的Dirichlet积分。所以因此可知当t=0时，有32例求函数解显然，函数是奇函数，且-1,0,1为其
8、间断点，的Fourier积分。则在连续点处有33例求函数解的Fourier积分。且34例求函数解的Fourier积分。且35
