爱上积分变换

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1、题目：《神奇的矩阵——第二季》(傅里叶变换部分)学校：哈尔滨工程大学姓名：黎文科联系方式：QQ群：53937814联系方式：190356321@qq.com前言这篇爱上积分变换是《神奇的矩阵——第二季》中的一部分，是第六章。但是，考虑到积分变换这个内容的重要性，所以单独列出来了。首先必须声明一下，这不全是我写的，只是整理了别人的著作，强烈建议读者阅读参考文献1.当然本文并不是一次简单的复制粘贴，我还加入了自己的理解。记得最开始知道傅里叶这个名字是在高等数学的课本上。当时花了好多时间，问了好多人，都不知道为什么进行积分变换。为此我

2、也困扰了好久。直到后来学习专业课，渐渐的对积分变换有了自己的理解。再加上网上的各种文章，对我的帮助很大。笔者觉得，积分变换大家都学过，没有秘密可言。数学的好经验应该大家共享，我们自己也是这么学来的。作者愿意公开本文的电子文档。文中重要的内容处采用楷体加粗，以示区分。但是这里有一个问题就是最开始提到的版权问题，我只是希望大家有兴趣多交流经验，并不想侵害别人的权利。因此，版权声明如下：（1）读者可以任意拷贝、修改本书的内容。（2）未经作者许可，不得出版或大量印发本文。（3）如果你有好的修改建议，或者也写了一些心得体会，欢迎联系我，与

3、大家共享。由于本人水平有限，错误在所难免，欢迎读者对本文提出批评建议。相信每一次的思考，不管对错，都能对你的理解做出贡献。希望这篇拙作能起到抛砖引玉的作用。——作者2014年12月于哈尔滨26爱上积分变换傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂

4、的那种。所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。傅里叶是一位法国数学家和物理学家的名字，英语原名是JeanBaptisteJosephFourier(1768-1830),Fourier对热传递很感兴趣，于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文，运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。当时审查这个

5、论文的人，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(JosephLouisLagrange,1736-1813)和拉普拉斯(PierreSimondeLaplace,1749-1827)，当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时，拉格朗日坚决反对，在他此后生命的六年中，拉格朗日坚持认为傅里叶的方法无法表示带有棱角的信号，如在方波中出现非连续变化斜率。法国科学学会屈服于拉格朗日的威望，拒绝了傅里叶的工作，幸运的是，傅里叶还有其它事情可忙，他参加了政治运动，随拿破仑远征埃及，法国大革命后因会被推上断头台而一直在逃避。直到拉格朗

6、日死后15年这个论文才被发表出来。拉格朗日是对的：正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号。但是，我们可以用正弦曲线来非常逼近地表示它，逼近到两种表示方法不存在能量差别，基于此，傅里叶是对的。话是这么说没错，可是二者总要存在差异，甚至在跳变沿处，傅里叶逼近会产生Gibbs现象，我们为什么还要进行傅里叶展开或傅里叶变换呢？首先，我们从信号和系统的物理特征角度来解释。我们知道：大自然中很多现象可以抽象成一个线性时不变系统来研究，无论你用微分方程还是传递函数或者状态空间描述。一个正弦曲线信号输入后，输出的仍是正弦曲线，只有幅度和相位可能发

7、生变化，但是频率和波的形状仍是一样的。也就是说正弦信号是系统的特征向量！用正弦曲线来代替原来的曲线而不用方波或三角波或者其他什么函数来表示的原因在于：正弦信号恰好是很多线性时不变系统的特征向量。于是自然有一个想法：用特征向量来描述一个线性系统！于是就有了傅里叶变换。对于更一般的线性时不变系统，复指数信号是系统的特征向量。于是就有了拉普拉斯变换。z变换也是同样的道理。傅里叶级数和傅里叶变换其实就是我们之前讨论的特征值与特征向量的问题。分解信号的方法是无穷的，但分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。这样，用正余弦来表示原信号

8、会更加简单，因为正余弦拥有原信号所不具有的性质：正弦曲线保真度。且只有正弦曲线才拥有这样的性质，正因如此我们才不用方波或三角波来表示。同时，这也解释了为什么我们一碰到信号就想方设法的把它表示成正弦量或者复指数量的形式；解释了为什么方波或者三角波如此“简单”，我们