资源描述：
《高等数学--二重积分的计算.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第二节二重积分的计算doubleintegral利用直角坐标系计算二重积分利用极坐标系计算二重积分二重积分的换元法小结 思考题作业1第七章重积分二重积分的计算法本节介绍计算二重积分的方法:二重积分化为累次积分(即两次定积分).2二重积分的计算法一、利用直角坐标系计算二重积分(1)积分区域为：a≤x≤b,ϕ(x)≤y≤ϕ(x).12其中函数ϕ1(x)、ϕ2(x)在区间[a,b]上连续.X－型y=ϕ(x)y2yy=ϕ(x)2DDy=ϕ(x)y=ϕ(x)11OabxOabx3二重积分的计算法用二重积分的几何意义说明其计算法Q∫∫f(x,y)dσ(f(x,y)≥0)的值等于以D为底,D以曲面z=f(x
2、,y)为顶的曲顶柱体的体积.z=f(x,y)z应用计算“平行截面面积为y=ϕ(x)2A(x)已知的立体求y0D体积”的方法.y=ϕ1(x)Oax0bx＊计算截面面积(红色部分即A(x0))是区间[ϕ1(x0),ϕ2(x0)]为底,曲线z=f(x,y)0为曲边的曲边梯形.4二重积分的计算法z=f(x,y)z是区间[ϕ1(x0),ϕ2(x0)]为底,曲线z=f(x0,y)为曲边y=ϕ(x)2的曲边梯形.A(x0)yϕ2(x0)DA(x0)=∫ϕ1(x0)f(x0,y)dyy=ϕ1(x)Oax0bx∀x∈[a,b]有:ϕ2(x)A(x)=∫f(x,y)dyϕ1(x)bϕ2(xb)＊∫∫Vf(=x∫∫
3、,y)fd(σx=,y∫∫)ddσx=∫aAf((xx),dyx)dyaϕ1(x)DDbϕ2(x)=∫(∫f(x,y)dy)dxaϕ1(x)称为累次积分.先对y后对x的二次积分5二重积分的计算法(2)积分区域为：c≤y≤d,ϕ1(y)≤x≤ϕ2(y)其中函数ϕ1(y)、ϕ2(y)在区间[c,d]上连续.yyddY－型x=ϕ(y)x=ϕ(y)D21Dx=ϕ2(y)x=ϕ(y)1ccOxOxdϕ(y)fxy=(2f(x,y)dx)dy∫∫(,)dσ∫∫cϕ1(y)D先对x后对y的二次积分dϕ2(y)也即∫∫f(x,y)dσ=∫∫dyf(x,y)dxcϕ1(y)D6二重积分的计算法注特殊地D为矩形域
4、:a≤x≤b,c≤y≤dbd则∫∫f(x,y)dσ=∫dx∫f(x,y)dyacDdb=∫dy∫f(x,y)dxca如D是上述矩形域,且f(x,y)=f(x)⋅f(y)12bd则∫∫f1(x)f2(y)dxdy=∫a(∫f1(x)⋅f2(y)dy)dxcDbd=∫(f1(x)⋅∫f2(y)dy)dxacbd得=∫af1(x)dx⋅∫f2(y)dyc即等于两个定积分的乘积.7二重积分的计算法X型区域的特点:穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.Y型区域的特点:穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.(3)积分区域D既是X型:ya≤x≤b,ϕ1(x)≤y≤ϕ2(x
5、)d又是Y型:cc≤y≤d,ϕ1(y)≤x≤ϕ2(y)Oabx计算结果一样.但可作出适当选择.8二重积分的计算法(4)若区域如图,则必须分割.yD3在分割后的三个区域上分别D1D使用积分公式.2(用积分区域的可加性质)Ox∫∫=∫∫+∫∫+∫∫D1、D2、D3都是X型区域DDDD1239二重积分的计算法22例求∫∫(x+y)dxdy,其中D是抛物线y=x和Dy22x=y所围平面闭区域.y=x2x=y•(1,1)解两曲线的交点2⎧x=y⎨⇒(1,1),(0,0)Ox2y=x⎩积分域既是X型又是Y型21x2法一∫∫(x+y)dxdy=∫dx∫(x+y)dy0x2D1133224=∫[x(x−x)+
6、(x−x)]dx=.0214010二重积分的计算法2y(x+y)dxdy2∫∫y=x2D•x=y(1,1)法二先对x后对y的积分Ox21y2∫∫(x+y)dxdy=∫dy∫2(x+y)dx0yD33=14011二重积分的计算法112例计算二次积分∫dx∫sinydy0x分析siny2对y的积分不能用基本积分法算出,而它对x的积分可用基本积分法算出.所以将二次积分先交换积分次序.交换积分次序的方法是:(1)将所给的积分域用联立不等式表示D:y0≤x≤1,x≤y≤1(2)画出积分域的草图(1,1)(3)改写D为:0≤y≤1,0≤x≤yy=xox12二重积分的计算法y11dxsiny2dy(1,1)
7、∫∫0x1yy=x2=∫dy∫sinydxox001y=(siny2)⋅xdyD:0≤y≤1,0≤x≤y∫0012=∫ysinydy011221=∫sinydy=(1−cos1)20213二重积分的计算法例交换积分次序：212x−x22−x∫dx∫f(x,y)dy+∫dx∫f(x,y)dy0010y解积分区域:y=2−x2y=2x−xO12x12−y原式=∫dy∫2f(x,y)dx01−1−y14
