资源描述：
《例说重积分与累次积分.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第!&卷第(期大!学!数!学)*+,!&%-,(!""%年.月/011232456724568/9:;<,!""%例说重积分与累次积分项明寅%!叶!鸣%!方继光%!鲍志晖#黄山学院数学系%安徽黄山!#%"!&$!!!摘!要"重积分从定义到基本性质与定积分理论基本上是平行的%但由于空间结构的变化%又显示出重积分与定积分的本质差异,本文通过若干实例说明重积分与累次积分是两个独立的概念%它们的存在性没有必然的蕴含关系%并指出只有在一定条件下它们之间才存在相等关系,!关键词"重积分&累次积分&存在性&关系!中图分类号"0&’!,!!!!文献标识码"/!!!文章编号"&.’!$&#%##!
2、""%$"($"&".$"#在我们讲授重极限与累次极限时%通过举例特别指出’这是两个独立的概念%它们的存在性没有必然的蕴含关系,但当我们讲授重积分时%我们往往关注的是如何将一个重积分化为某种形式的累次积分%而对重积分与累次积分的存在性有无必然的蕴含关系却很少提及%其实它们之间存在性的关系和重极限与累次极限一样也没有必然的蕴含关系,以二元函数的积分为例,!!重积分存在%累次积分未必存在例!!设2&C&%当8%G都是有理数时%+#8%G$BPP8PG3"%其他为定义在EB!"%&"N!"%&"上的函数%其中P和P分别表示有理数8和G的既约分数的分母%则8G+#8%G$在E上可积%但两
3、个不同顺序的累次积分都不存在!解析!定义2&%当8%G都是有理数时%+%G$BPP83"%其他情形%2&%当8%G都是有理数时%+!#8%G$BPPG3"%其他情形%则易知+#8%G$%+#8%G$在E上都可积!&!&事实上%对<%#"’%’&$%#"%&"中分母大于的既约分数只有有限多个%设它们是8%8%(%8&!,%且"’8##B&%!%(%,I&$!令#’8#C&’&%+BJ@<#8#C&I8#$!#8"B"%8,C&B&$%#,"(#(,I&!!收稿日期"!""($"O$!.!!基金项目"安徽省省级教学研究课题#:f^4!""(!%O$第(期!!!!!!!!!!!!
4、项明寅"等’例说重积分与累次积分&"’V&B!8&I+"8&C+#!$&B&"!"%",&"S&B!8&C+"8&C&I+#!$&B&"!"%",I&&"S"B!""8&I+#"!S,B!8,C+"&#"则得E的一个分割K’S"N!""&#"V&N!""&#"S&N!""&#"V!N!""&#"%"S,N!""&#"依次记为+"+"+"%"+再记+$8"G&在+上的上"下确界分别为O"("则,*+时"&!(!,C&!&###!,5&,,7$K&I:$K&B$$O#I(#&&+#B$O!&C&&S&C$O!&&V&#.&&."&.&,,($%(&S&C$&(&V&(%C,(!+’!
5、%"&."&.&故+$8"G&在E上可积!&同理"+$8"G&在E上亦可积!于是+$8"G&B+$8"G&C+$8"G&在E上可积!!&!但当G取无理数时"+$8"G&+")当G取有理数时"在8为无理数处"+$8"G&+")在8为有理数处&&&+$8"G&BC"因此函数+$8"G&在任何小区间上的振幅大于&""从而+$8"G&关于8在!""&#上P8PGPG积分不存在"显然就不存在先8后G的累次积分!同理可证"先G后8的累次积分不存在!"!重积分不存在"而累次积分有一个存在例"!设2&&&"当8是有理数""(G()8是无理数"’G(&"!!+$8"G&BP&&""当8是有理数"’
6、G(&)8是无理数""(G(3!!为定义在EB!""&#N!""&#上的函数"则+$8"G&在E上不可积"而先G后8的累次积分存在"但先8后G的累次积分不存在!解析!因为对区域EB!""&#N!""&#的任意划分K"函数+$8"G&在任意一个小区域I上的振幅&"&B&$&B&"!"%")&"所以函数+$8"G&在区域E上不可积!&&&!&但是"<8%!""&#"当8是有理数时"+$8"G&YGBYGB)当8是无理数时"+$8"G&YG-"-"!-"&&&&&&&BYGB"从而累次积分Y8+$8"G&YGB存在"而另一个累次积分YG+$8"G&Y8不&!!-!-"-"-"-"存在!
7、事实上"
