2013 湖南高考数学试卷(理).docx

《2013 湖南高考数学试卷(理).docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页，时量120分钟，满分150分.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数在复平面上对应的点位于（）.A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限分析利用复数乘法的运算法则及复数的几何意义求解.解析因为，所以复数对应复平面上的点是，该点位于第二像限.故选B.2.某学校有男、女学生各名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（）.A．抽签法B．

2、随机数法C．系统抽样法D．分层抽样法分析根据分层抽样的特点求解.解析由于调查男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在差异，因此用分层抽样方法.故选D.3.在锐角中，角所对的边长分别为.若（）.A．B．C．D．分析利用正弦定理将边化为角的正弦.解析在中，.因为，所以.所以.又为锐角三角形，所以.故选D.4.若变量满足约束条件，则的最大值是（）.A．B．C．D．分析根据不等式组作出其平面区域，令，结合的特征求解.解析不等式组表示平面区域为图中阴影部分.平行移动，可知该直线经过与的交点时，有最大值为.故选C.5.函数的图像与函数的图像的交点个数为（）.A．B．C．1D．分析作出两函数图像，利用数形

3、结合思想求解.解析因为时，又当时，，在同一直角坐标系内画出与的图像，如图所示，可知与有两个不同的交点.故选B.6.已知是单位向量，.若向量满足则的取值范围是（）.A．B．C．D．分析将所给向量式两边平方后利用向量数量积的运算律及向量数量积定义求解.解析因为，且是单位向量，所以.又因为，所以.因为且，所以，所以.又，所以，所以，所以.故选A.7．已知棱长为的正方体的俯视图是一个面积为的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于（）.A．B．C．D．分析根据正方体的正视图的形状求解.解析当正方体的俯视图是面积为的正方形时，其正视图的最小面积为，最大面积为.因为，因此所给选项中其正视图的面积不可能为

4、，故选C.8.在等腰三角形中，点是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点（如图）.若光线经过的重心，则等于（）.A．B．C．D．分析以点为原点，建立平面直角坐标系求解.解析分别以所在直线为轴，轴，为原点建立如图所示的平面直角坐标系.因为，故.设为线段上的点，点关于的对称点.点关于直线的对称点为.由光的反射定理知，点，一定在直线上.又的重心坐标为，由题意知点在线段上，即、、三点共线.因为，，，所以，解得，即.故选D.二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分.（一）选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）9.在平面直角坐标系中

5、，若过椭圆，（为参数）的右顶点，则常数.分析将参数方程化为普通方程后求解.解析直线消去参数的得.椭圆消去参数后，得.又椭圆的右顶点为，代入得.10.已知则的最小值为.分析使用柯西不等式求解.解析因为，所以.所以，即.当且仅当，即时取等号.答案.11.如图2，在半径为的中，弦相交于点则圆心到弦的距离为.分析根据相交弦定理求出的长，过作弦的垂线.解析由相交弦定理得.又，则.所以.过点作的垂线交于，则为的中点，所以（一）必做题（12-16题）12.若则常数的值为.分析利用微积分基本定理建立方程求解.解析因为，所以.13.执行如图所示的程序框图，如果输入则输出的值为.分析利用程序框图表示的算法逐步求解

6、.解析当时，不成立，执行后的值为；当时，不成立，执行后的值为；当时，不成立，执行后的值为；当时，不成立，执行后的值为；由于成立，故输出的值为.14．设是双曲线的两个焦点，是上一点，若且的最小内角为，则的离心率为.分析根据双曲线的定义及已知条件，利用余弦定理建立关于的方程求解.解析设点在双曲线右支上，为左焦点，为右焦点，则.又，所以.因为在双曲线中，所以在中所对的角最小且为.在中，由余弦定理得，即，即.所以，所以，即，所以.15．设为数列的前项和，则（1）_____；（2）_______.分析根据建立关于的关系式，根据的关系式归纳寻找其规律后求解.解析因为，所以.当为偶数时，，当为奇数时，，所以

7、当时，.根据以上的关系式及递推式可求..所以所以.答案：（1）（2）16．设函数（1）记集合，则所对应的的零点的取值集合为_________.（2）若是的三条边长，则下列结论正确的是.（写出所有正确结论的序号）①②使③若为钝角三角形，则，使分析（1）利用不能构成三角形的条件及函数存在零点时，求的范围.（2）中①可根据指数函数的性质及构成三角形的条件求证；②中由于涉及不可能问题，因此可举反例验证；③