圆的标准方程（上课用）.ppt

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1、2.3.1圆的标准方程一．圆的标准方程平面内到一个定点的距离等于定长的轨迹是圆，定点是圆心，定长是圆的半径。求以C(a，b)为圆心，r为半径的圆的方程.设M(x，y)是⊙C上任意一点，点C在⊙C上的条件是

2、CM

3、=r.也就是说，如果点M在⊙C上，则

4、CM

5、=r,反之如果

6、CM

7、=r，则点M在圆C上。由两点间的距离公式，所说的条件转化为方程表示两边平方得(x－a)2+(y－b)2=r2.注意以下三点：1．已知圆心C(a，b)，半径为r，则圆的标准方程为(x－a)2+(y－b)2=r2.2．当圆心在坐标原点时，圆的标准方程为x2+y2

8、=r2.3．圆的标准方程的优点在于明确地指出了圆心和半径.二．点与圆的位置关系给出点M1(x1，y1)和圆C：(x－a)2+(y－b)2=r2，通过比较点到圆心的距离和半径r的大小关系，得到：（1）若点M1在圆C上，则有(x1－a)2+(y1－b)2=r2；（2）若点M1在圆C外，则有(x1－a)2+(y1－b)2>r2；（3）若点M1在圆C内，则有(x1－a)2+(y1－b)2

9、圆的方程。2．求圆的标准方程的一般步骤为：（1）根据题意，设所求的圆的标准方程为(x－a)2+(y－b)2=r2；（2）根据已知条件，建立关于a、b、r的方程组；（3）解此方程组，求出a、b、r的值；（4）将所得的a、b、r的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的标准方程.例1．根据下列条件，求圆的方程：（1）圆心在点C(－2，1)，并过点A(2，－2)；（2）圆心在点C(1，3)，并与直线3x－4y－6=0相切；（3）过点(0，1)和点(2，1)，半径为.解：（1）所求圆的半径r=

10、CA

11、=5，因为圆心在点C(－2，1)，所以

12、所求圆的方程为(x+2)2+(y－1)2=25.（2）圆心在点C(1，3)，并与直线3x－4y－6=0相切；解：（2）因为直线3x－4y－6=0是所求圆的切线，所以圆心到这条直线的距离等于半径，根据点到直线的距离公式，得所以所求圆的方程是(x－1)2+(y－3)2=9.（3）过点(0，1)和点(2，1)，半径为.解：（3）设圆心坐标为(a，b)，则圆的方程为(x－a)2+(y－b)2=5.已知圆过点(0，1)和点(2，1)，代入圆的方程得解得或因此所求圆的方程为(x－1)2+(y+1)2=5或(x－1)2+(y－3)2=5。例2．

13、求过点A(6，0)，B(1，5)，且圆心在直线l：2x－7y+8=0上的圆的方程。解法1.直线AB的斜率k=－1，所以AB的垂直平分线m的斜率为1，AB的中点的横坐标和纵坐标分别为x=，y=.因此直线m的方程为y－=x－，即x－y－1=0.又圆心在直线l上，所以圆心是直线l与直线m的交点，解联立方程组得所以圆心的坐标是C(3，2)，半径r=

14、CA

15、=，所以圆的方程是(x－3)2+(y－2)2=13.解法2.设所求的圆的方程为(x－a)2+(y－b)2=r2，由题意得解得所以圆的方程是(x－3)2+(y－2)2=13.例3．赵州桥的

16、跨度是37.02m，圆拱高约为7.2m，求这座圆拱桥的拱圆方程。解：如图，以AB的中点为原点，x轴通过AB建立直角坐标系。根据已知条件，B，C的坐标分别为(18.51，0)，(0，7.2)，设圆心的坐标为(0，b)，则圆的方程为x2+(y－b)2=r2，因为B，C都在圆上，所以它们的坐标满足这个方程，于是得到方程组解得因此拱圆方程为x2+(y+20.19)2=750.21.例4．已知两点P1(4，9)和P2(6，3)，求以P1P2为直径的圆的方程，并判断M(6，9)和N(5，3)是在圆上、圆外，还是在圆内?解：由已知得圆心坐标为C

17、(5，6)，半径r的平方为r2=10所以圆的方程为(x－5)2+(y－6)2=10，将M，N点的坐标代入方程得(6－5)2+(9－6)2=10，(5－5)2+(3－6)2<10,所以点M在圆上，点N在圆内.练习题：1．圆(x－1)2+(y+1)2=2的周长是（）（A）π（B）2π（C）2π（D）4πC2．圆心为点(3，4)且过点(0，0)的圆的方程是（）（A）x2+y2=25（B）x2+y2=5（C）(x－3)2+(y－4)2=25，（D）(x+3)2+(y+4)2=25，C3．已知圆心在P(－2，3)并且与y轴相切，则该圆的方程

18、是（）（A）(x－2)2+(y+3)2=4（B）(x+2)2+(y－3)2=4（C）(x－2)2+(y+3)2=9（D）(x+2)2+(y－3)2=9B4．过点A(1，－1)，B(5，6)且圆心在直线x+y－2=0上的圆的方程为（）（A）(x－3)