无界区域R1上的非线性梁方程的全局吸引子.pdf

《无界区域R1上的非线性梁方程的全局吸引子.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、云南师范大学学报(自然科学版)JournalofYunnanNormalUniversity2015年7月35卷4期(Vo1．35No．4)DOI：10．7699／j．ynnu．ns一2015—049无界区域R上的非线性梁方程的全局吸引子姜金平，张晓明(延安大学数学与计算机科学学院，陕西延安716000)摘要：研究了无界区域R1上的非线性梁方程，运用算子分解和带权空间上构造紧算子的方法，得到了该方程在无界区域R上存在全局吸引子．关键词：非线性梁方程；全局吸引子；算子分解中图分类号：O175．29文献标志码：A文章编号：1007—979

2、3(2015)04—0034—07研究一类非线性梁方程，其形式如下+△。M+8u+g()===h(1)u(x，O)一1(z)，(z，O)一2()(2)其中u(x，￡)描述了桥面在竖直平面内的变形，t∈，z∈R；表示黏性阻尼．研究方程(1)这样具有耗散性质的无穷维动力系统解的长时间性态是数学物理中的一个重要问题[1]．有关无界区域上的紧吸引子的存在性问题主要困难在于H(Rn)嵌入()(s>5)是不紧的，即无界区域上Sobolev嵌入定理不再成立．1990年BabinAV修正了“紧正向不变集”嘲条件，引人带权空间构造紧算子，从而解决了无界

3、区域上全局吸引子的存在性问题．文r-3]研究了方程(1)在有界区域上的全局吸引子的存在性，但方程(1)在无界区域上的全局吸引子的存在性尚无结果．本文采用文献[4]和[5]中的算子分解技巧，解决了H(R)嵌入H(R)(s>s)不紧的问题，并且利用Kuratowskia一非紧测度证明了解算子S(￡)的渐近光滑性，最后由HaleJKc]的定理得到无界区域R上的非线性梁方程(1)一(2)全局吸引子的存在性．1解算子S(t)的存在性为方便，记，△一，(R)一，。(R)；L。(R)中的内积和范数分别用(·，·)、ll·II表dzdz‘示，且令Eo

4、—H。×L(R)；E1：H。×H(R)；E2一H×H(R)用ll·llE(一0，1，2)分别表示E中的范数．文中后面将会多次用到下面的Gagliardo—Nirenberg*收稿日期：2015—05～19基金项目：陕西省科技计划资助项目(2014K15—03～07)；陕西省教育厅科研基金资助项目(14JK1841)；延安市科技计划资助项目(2013一KSO3)．作者简介：姜金平(1974一)，男，陕西洛川人，博士，副教授，硕士生导师，主要从事无穷维动力系统方面研究．E-mail：yadxjjp@163．corn．通信作者：姜金平．，弟

5、4删安金半，寺：尢界tx域K上阳非线性梁刀程盯全局u发引于‘‘不等式llDOul】≤Cll“llllD“ll，ELnH(R)(3)其中去一舌+(专一-m-)~(1一1，1≤q，r≤。。，是一个整数，o≤≤，上m≤≤1．若m—J一是非负整数，当≤<1时，不等式仍成立．假设非线性函数g满足下面的条件：(H)11Jiminf≥o，G一(洲r，VsER；(H)iIsup上粤』一。，V。≤y<∞，Vs∈R；I(H。)iinf堕≥o，Vs∈R，c是大于。的常数．1l设任意有界集BoE。，根据Poincare不等式，存在常数使得ll△ll≥ll“l

6、l(4)引理1设>0，(z)∈L(R+；L(R))，g()满足条件(H1)一(H3)，V(“，2)∈Eo，则(，Ut)∈L(R+；Eo(R))且存在t(R)>0，Vt≥t(尺)，lI(，甜z)IIEo≤R，有II(“，)IlEn≤C．证明由条件(H)、(H。)，对任意EH。(R)，存在仅依赖于的常数K、K。，使得59(“)+1II△II≥一K1(5)()出一c()+1ll△lJ。≥一K(6)这里(“)一j'G(“(z))．取常数>o，选取充分小的￡满足o

7、II)+eII△II。+(一e)IIII。一e(～e)(，)+(g()，)一(，)(8)根据(4)、(7)及H61der不等式和YoungS不等式得eII△II+(一e)III。一s(一￡)(，v)≥专I△II+萼IIlI(9)()≤O+鲁IIIz(10)利用(6)式可得(g()，)一g()“&r+~fR1g()zz≥d()+()一寺l_tlz一(11)结合(9)、(10)和(11)，由(8)可得(1l△“+l】。+2(“))+号l△+萼ll。~2sC()≤~2sK。(12)·36·云南师范大学学报(自然科学版)第35卷令a=min{

8、专，￡Ct)，利用式(5)可得(II△{I+iIVIl+2()+2K)+a(1{△I。+I1VII。+2()+2K)≤L(13)记。(￡)一ll△lIz+』Illz+2()+2K>o，L1一+22~2d~21．则由Gro