无界闭区域上的积分中值定理

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1、------------------------------------------------------------------------------------------------无界闭区域上的积分中值定理数学与应用数学200410700102张薇指导老师范江华D?f(P)g(P)d??f(P)?g(P)d?.0D本文主要运用了区域的道路连通性证明了文中所得结论.因为D?是道路连通的，所以存在连续映射c:[0,1]?D?，又因为函数f:D?Rn?R在D上连续，故f?c:[0,1]?R连续.所以存在t0?[0,1]，使得c(t0)?P0，故在D?内存在一点P0，使得D?f(P)

2、g(P)d??f(P)?g(P)d?.0D【关键词】积分中值定理；无界闭区域；Lebesgue积分；道路连通性一引言积分中值定理是数学分析中的一个重要定理，其结果表现形式多样.文献[1]中的积分中值定理叙述为：设f:[a,b]?R在[a,b]上连续，则至少存在一点??[a,b]，使得?baf(x)dx?f(?)(b?a).文献[1]也给出了推广的积分中值定理的表述：定理1若f:[a,b]?R和g:[a,b]?R都在[a,b]上连续，且g:[a,b]?R在[a,b]上不变号，则至少存在一点??[a,b]，使得——————————————————————————————————————---

3、---------------------------------------------------------------------------------------------?baf(x)g(x)dx?f(?)?g(x)dx.ab1文献[6]给出了如下更强的结果：定理2设f:[a,b]?R在[a,b]上连续，g:[a,b]?R在[a,b]上可积且不变号，则至少存在一点??(a,b)，使得?baf(x)g(x)dx?f(?)?g(x)dx.ab同样，二重积分中值定理通常有如下表述方式：定理3设D为平面上的有界闭区域，f:D?R2?R在D上连续，g:D?R2?R在D上可积且不变号

4、，则至少存在一点(?,?)?D，使得??f(x,y)g(x,y)dxdy?f(?,?)??g(x,y)dxdy.DD定理4设D为平面上的有界闭区域，f:D?R2?R在D上连续，g:D?R2?R在D上可积且不变号，则至少存在一点(?,?)是D的内点，使得??f(x,y)g(x,y)dxdy?f(?,?)??g(x,y)dxdy.DD由于f(x)在区域D上Riemann可积必定Lebesgue可积，因此定理2和定理4可以推广到Lebesgue积分上.定理5设f:[a,b]?R在[a,b]上连续，g:[a,b]?R在[a,b]上Lebesgue可积，且g(x)?0a.e.，则至少存在一点??(

5、a,b)，使得?b——————————————————————————————————————------------------------------------------------------------------------------------------------af(x)g(x)dx?f(?)?g(x)dx.ab定理6设D为平面上的有界闭区域，f:D?R2?R在D上连续，g:D?R2?R在D上Lebesgue可积，且g(x,y)?0a.e.，则至少存在一点(?,?)是D的内点，使得??f(x,y)g(x,y)dxdy?f(?,?)??g(x,y)dxdy.DD文献

6、[5]叙述的n重积分中值定理为：定理7设D是Rn中的有界闭区域，m(?D)?0，f:D?Rn?R在D上连续，g:D?Rn?R在D上Lebesgue可积，且g(P)?0a.e.，则至少存在一点P0是D的内点，使得2D?f(P)g(P)d??f(P)?g(P)d?.0D上述定理均是在有界闭区域上讨论的积分中值定理，但在一般的无界闭区域上，要求f:D?Rn?R在D上有界，g:D?Rn?R在D上Lebesgue可积，且g(x,y)?0a.e.时，同时要求f(P)?g(P)在D上也Lebesgue可积，那么，能否找到P0?D?，有D?f(P)g(P)d??f(P)?g(P)d?0D呢？以下将证明这

7、种推广是成立的.二符号、基本定义与定理为了证明本文所得结论还需要以下定义和引理：定义1[1]具备下列性质的非空点集D称为开区域：（1）D为开集；——————————————————————————————————————------------------------------------------------------------------------------------------------（2）D中任意两点可用全