微积分中值定理习题

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1、第三章中值定理与导数的应用第三章中值定理与导数的应用§1中值定理一、证明：当时，。二、证明方程只有一个正根。三、设在上连续，在内可导，证明在内有一点，使得四、证明：若函数在内满足关系式，且，则。五、设函数在的某邻域内具有阶导数，且，试用柯西中值定理证明：§2洛必达法则一、求下列极限（1）=（2）=（3）=（4）=（5）=（6），其中。§3泰勒公式一、求函数的二阶麦克劳林公式。二、求函数的阶麦克劳林公式。、当时，求函数的三阶泰勒公式。三、当时，求函数的阶泰勒公式。3第三章中值定理与导数的应用§4函数单调性的判定法

2、一、确定下列函数的单调区间：（1）；（2）二、证明：当时，；三、设在上，证明函数在上是单调增加的。§5函数的极值及其求法一、求下列函数的极值：（1）；（2）；（3）二、试问为何值时，函数+在=处取得极值？它是极大值还是极小值？并求出此极值。四、讨论方程(其中)有几个实根？§6最大值、最小值问题一、求函数在上的最大值与最小值。二、设，求（1）在上的最大值（2）三、要造一圆柱形油罐，体积为V，问底半径r和高h等于多少时，才能使表面积最小？这时底直径与高之比是多少？四、从一块半径为R的圆铁片上挖去一个扇形做成一个漏斗

3、(图见P195的图3－19)，问留下的扇形的中心角取多大时，做成的漏斗的容积最大？§7曲线的凹凸与拐点一、求曲线的拐点及凹凸区间。二、试决定中k的值，使曲线的拐点处的法线通过原点。三、利用函数图形的凹凸性证明不等式：.3第三章中值定理与导数的应用四、设在的某邻域内具有三阶连续导数，如果，，而，试问是否为极值点？为什么？又是否为拐点？为什么？§8函数图形的描绘§9曲率一、描绘下列函数的图形：(1)(2)二、对数曲线上哪一点处的曲率半径最小？求出该点处的曲率半径。二、证明曲线在点处的曲率半径为。习题课一、设在[0，

4、a]上连续，在(0，a)内可导，且，证明存在一点，使。二、设0