微积分04 微分中值定理

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1、第一节微分中值定理一、罗尔定理二、拉格朗日中值定理定理1设函数f(x)满足(1)在闭区间[a,b]上连续,(2)在开区间(a,b)内可导,(3)f(a)=f(b),注意：罗尔中值定理的条件有三个，如果缺少其中任何一个条件，定理将不成立.一、罗尔中值定理罗尔中值定理几何意义：若曲线弧在[a,b]上为连续弧段，在(a,b)内曲线弧上每点都有不平行于y轴的切线，且曲线弧段在两个端点处的纵坐标相同，那么曲线弧段上至少有一点，过该点的切线必定平行于x轴.定理2设函数f(x)满足(1)在闭区间[a,b]上连续；(2)在开区间(a,b)内可导；则至少存在一点分析与罗尔定理相比，拉格朗日中值定理中缺少条件

2、是f(a)=f(b).如果能由f(x)构造一个新函数使在[a,b]上满足罗尔定理条件，且由能导出则问题可解决.二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理的几何意义：如果在[a,b]上的连续曲线，除端点外处处有不垂直于x轴的切线，那么在曲线弧上至少有一点使曲线在该点处的切线平行于过曲线弧两端点的弦线.弦线的方程为作辅助函数即可.的几何意义为：曲线的纵坐标与曲线弧两端点连线对应的纵坐标之差.推论1若在(a,b)内恒等于零，则f(x)在(a,b)内必为某常数.事实上，对于(a,b)内的任意两点，由拉格朗日中值定理可得由拉格朗日中值定理可以得出积分学中有用的推论：位于x1，x2之间，故有f(x1)=f(

3、x2).由x1，x2的任意性可知f(x)在(a,b)内恒为某常数.推论2若在(a,b)内恒有　　，则有其中C为某常数.由推论1可知f(x)－g(x)=C，即f(x)=g(x)+C.f(x)=g(x)+C,事实上，由已知条件及导数运算性质可得例１试证对于所给不等式，可以认定为函数的增量与自变量的增量之间的关系.因此可以设f(x)=arctanx.证设f(x)=arctanx,不妨设a0时,试证不等式分析取f(t)=ln(

4、1+t)，a=0，b=x.则f(t)=ln(1+t)在区间[0,x]上满足拉格朗日中值定理，因此必有一点使得.说明本例中，若令y=lnt，a=1，b=1+x，亦可利用拉格朗日中值定理证明所给不等式.这表明证明不等式时，f(x)与[a,b]的选取不是惟一的.即进而知第二节洛必达法则如果函数，其分子、分母都趋于零或都趋于无穷大.那么，极限可能存在，也可能不存在.通常称这种极限为未定型.并分别简记为.这节将介绍一种计算未定型极限的有效方法——洛必达法则.一、定理１如果f(x)和g(x)满足下列条件：那么定理２如果f(x)和g(x)满足下列条件：那么例1为型，由洛必达法则有解例2为型，由洛必达法则

5、有解例3为型，由洛必达法则有解例4为型，由洛必达法则有解二、定理３如果函数f(x)，g(x)满足下列条件：那么定理4如果函数f(x)，g(x)满足下列条件：那么例5为型，由洛必达法则有解例6为型，由洛必达法则有解三、可化为　型或　型极限1.如果，则称对于型，先将函数变型化为型或.再由洛必达法则求之.如或2.如果例7解例8解应该单独求极限，不要参与洛必达法则运算，可以简化运算.例9为型，可以由洛必达法则求之.如果注意到解说明如果型或型极限中含有非零因子，如果引入等价无穷小代换，则例10解所给极限为型，可以由洛必达法则求之.注意极限过程为但是注意到所求极限的函数中含有因子，且，因此极限不为零的

6、因子不必参加洛必达法则运算.例11又当时，，故所给极限为型，可以考虑使用洛必达法则.解第三节函数的单调性，极值和最值一、函数的单调性二、函数的极值三、函数的最大值和最小值如果函数f(x)在某区间上单调增加，则它的图形是随x的增大而上升的曲线.如果所给曲线上每点处都存在非铅直的切线，则曲线上各点处的切线斜率非负，即.如果函数f(x)在某区间上单调减少，则它的图形是随x的增大而下降的曲线.如果所给曲线上每点处都存在非铅直的切线，则曲线上各点处的切线斜率非正，即.一、函数的单调性定理１设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导.则有(1)如果在(a,b)内，那么，函数f(x)在[a,b

7、]上单调增加.(2)如果在(a,b)内，那么，函数f(x)在[a,b]上单调减少.例1解在(－2,1)内所给的函数严格单调减少.由此可知，在及内，所给函数严格单调增加，例2解例3解为了研究函数的单调性，我们只关心　在上述四个子区间内的符号，这三个点x=－1，0，1将y的定义域　　　　分为　　　　　　　　四个子区间.表中第一栏由小至大标出函数的定义域被三个特殊点划分的四个区间.第二栏标出　在各子区间内的符号.第三栏为函数的