清华大学微积分课件——微分中值定理.pdf

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1、微分中值定理，包括：第八讲微分中值定理罗尔定理、拉格朗中值定理、柯西中值定理一、费尔马(Fermat)定理微分中值定理的共同特点是：二、罗尔(Rolle)定理在一定的条件下，可以断定在所给区间内至少有一点，使所研究的函数在该点具有三、拉格朗日(Lagrange)定理某种微分性质。四、柯西(Cauchy)定理微分中值定理是微分学的理论基础。是利用导数研究函数性质的理论依据。2011-10-1912011-10-192y一、费尔马(Fermat)定理y=f(x)（一）极值的定义：f(x)极小值1设函数

2、f(x)在点x的某邻域U(x)有00定义.若∀x∈U(x),有0f(x)极大值0f(x)≤f(x)(或f(x)≥f(x))00则称函数f在x取得极大值(或极小值)0x并称x为f的极大值点(或极小值点).0ox0(极大值点)x(极小值点)1极值的研究是微积分产生的主要动力之一2011-10-1932011-10-194（二）费尔马定理(极值必要条件)y3y=x设函数f(x)在点x取得极值,并且0f(x)在点x可导,则必有0f′(x)=00ox[注意1]f′(x)=0是可导函数取得极值的y′=3x20

3、必要条件.y′(0)=0[注意2]满足f′(x)=0的点x不一定是00x=0不是极值点函数f的一个极值点.这种点称为驻点.驻点未必是极值点！2011-10-1952011-10-1961[证](只须证明:f′(x)≤0且f′(x)≥0)00因为f′(x)存在,所以f′(x)和f′(x)0−0+0不妨设f(x)在点x处取得极大值.0都存在,并且有即在点x的邻域(x−δ,x+δ)内,有000f(x)≤f(x)f(x)−f(x0)0f′(x)=f′(x)=lim≥00−0−x→x0x−x0Δf(x)f(

4、x)−f(x)00考察=Δxx−x0f(x)−f(x)0f′(x)=f′(x)=lim≤0f(x)−f(x)0+0x→x+00x−xxx⇒≤00x−x2011-10-19072011-10-198微分中值定理的引入y(f′(ξ)=0平面曲线AB,连续不断且其上各点都有(切线.那麽AB上至少存在一点C,使得曲线(切线平行于x轴AB在点C的切线与弦AB平行.BABCCA切线平行于弦ABoaξbx2011-10-1992011-10-191

5、0(f(b)−f(a)AB的参数方程:f(b)−f(a)f′(ξ)=f′(ξ)=b−a⎧x=g(t)g(b)−g(a)g′(ξ)y⎨(a≤t≤b)⎩y=f(t)切线平行于弦ABy切线平行于弦ABBBf(b)f(ξ)CCf(a)AAoaξbxog(a)g(ξ)g(b)x2011-10-19112011-10-19122二、罗尔(Rolle)定理怎样证明罗尔定理？先利用形象思维去找出一个C点来！y设函数f(x)满足条件：想到利用闭区间上连续函数(1)在闭区间[a,b]上连续;的最大最小值定理！(2)在

6、开区间(a,b)内可微;C(3)f(a)=f(b),则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得ABf′(ξ)=0(a<ξ

7、),所以f′(ξ)存在.因此,可在(a,b)内任取一点作为ξ,有f′(ξ)=0又f(ξ)是函数的最大值,且在(a,b)内部达到,(2)若M≠m,因而是极大值.于是由费尔马定理知由f(a)=f(b)知,M和m至少有一个f′(ξ)=0(a<ξ

8、(2)在开区间(a,b)内可微,罗尔定理若放弃条件:f(a)=f(b)则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得则推广为拉格朗日定理。f(b)−f(a)知识扩张所遵循的规律之一就是将欲探=f′(ξ)(a<ξ