微积分中值定理详细

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1、中值定理应用研究函数性质及曲线性态利用导数解决实际问题罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式(第三节)推广第三章导数的应用定理1设函数f(x)满足条件：由上述的讨论，我们可以得到如下定理——罗尔（Rolle）定理。设y=f(x)是一条连续光滑的曲线，并且在点A、B处的纵坐标相等，即f(a)=f(b)，如图，那么我们容易看出，在弧AB上至小有一点C(ξ,f(ξ))，曲线在C点有水平切线。（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)内可导；（3）f(a)=f(b).则在(a,b)内至

2、少存在一点ξ，使得证因f(x)在闭区间[a,b]上连续所以在[a,b]上一定取到最大值M和最小值m。(1)若M=m则f(x)在[a,b]上是常数；f(x)=M，x∈[a,b]yoxACBaξb3.1.1罗尔定理由于f(x)在ξ处取最大值，所以不论△x为正或为负，总有当△x>0时,(2)若M≠m，则M,m中至小有一个不等于f(a)，不妨设f(a)≠M。因此，函数f(x)在内(a,b)某一点ξ处取到最大值M。我们来证。同理，当△x<0时,从而，因此，任取ξ∈(a,b)都有因此必然有3.1.2拉格朗日中值定

3、理设函数f(x)在区间[a,b]上的图形是一条连续光滑的曲线弧，显然是连接点A(a,f(a))和点B(b,f(b))的弦的斜率，如图所示，容易看出，在(a,b)内至少存在一点ξ使弧上的点C(ξ,f(ξ))的切线与弦平行。ABAB图yoxACBaξb由上述的讨论，我们可以得到如下定理——拉格朗日（Lagrange）中值定理。定理2设函数f(x)满足条件：（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)内可导；则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得分析：若f(a)=f(b)即为罗尔定理，不妨设f(a

4、)≠f(b)，证明的思路是借助一个辅助函数把拉格朗日定理转化为已知的罗尔定理。容易看出，弦的方程为证作辅助函数即而曲线弧与弦的纵坐标之差为AB它是x的函数，将其记为，显然函数满足罗尔定理的条件。显然在上[a,b]连续，在(a,b)可导，且于是由罗尔定理，至少存在一点ξ∈(a,b)，使得MadebyHuilaiLi中值定理的演示T与l平行这样的x可能有好多在区间上应用拉各朗日中值定理时，结论可以写成由拉格朗日定理可以得出两个重要的推论。证在(a,b)内任意取两点x1，x2，不妨设x1

5、在[a,b]上连续，在(x1，x2)内可导，由拉格朗日中定理可知，至少存在一点ξ∈(x1，x2)，使得推论2若函数f(x)，g(x)在(a,b)内可导，且推论1若函数f(x)在(a,b)内任意点的导数，则f(x)在(a,b)内是一个常数。由条件知，从而f(x2)－f(x1)=0。即f(x2)=f(x1)。由x1，x2是(a,b)内的任意两点，于是我们就证明了f(x)在(a,b)内恒为一个常数。则在(a,b)内，f(x)与g(x)最多相差一个常数，即其中c为常数。事实上，因为，由推论1可知应用拉格朗日定

6、理，我们不可以证明一些等式和不等式。例1.证明等式证:设由推论可知(常数)令x=0,得又故所证等式在定义域上成立.自证:经验:欲证时只需证在I上机动目录上页下页返回结束例2.证明不等式证:设中值定理条件,即因为故因此应有机动目录上页下页返回结束3.1.3柯西中值定理定理3设函数f(x)和g(x)满足条件：作为拉格朗日定理的推广，我们证明如下柯西定理：则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得证先用反证法证明g(b)－g(a)≠0，若不然，即有g(b)=g(a).则由罗尔定理知，至少存在一点x0∈(a,b)，

7、使得，此与条件(3)矛盾，故有g(b)－g(a)≠0。（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)内可导；注容易看出，拉格朗日中值定理是柯西定理当g(x)=x时的一个特殊情况。柯西定理的一个直接应用是证明下面的洛必达法则。即显然F(x)满足罗尔定理的三个条件，因此，在(a,b)内至少存在一点ξ，使得，即为证明等式成立，我们作辅助函数费马(1601–665)法国数学家,他是一位律师,数学只是他的业余爱好.他兴趣广泛,博览群书并善于思考,在数学上有许多重大贡献.他特别爱好数论,他提出的费马大定

8、理:至今尚未得到普遍的证明.他还是微积分学的先驱,费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中提炼出来的.拉格朗日(1736–1813)法国数学家.他在方程论,解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献,近百余年来,数学中的许多成就都直接或间接地溯源于他的工作,他是对分析数学产生全面影响的数学家之一.柯西(1789–1857)法国数学家,他对数学的贡献主要集中在微积分学,《柯西全集》共有27卷.其中最重要的的是为巴黎综合学校编写的《分析教程》,《无穷小分析