《微积分中值定理》PPT课件

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1、第三章中值定理与导数的应用本章导数的应用包括：2、利用导数讨论函数的性态（3.3—3.5节）3、导数在经济中的应用（3.6节）1、利用导数求函数的极限(3.2节)中值定理第三章中值定理与导数的应用中值定理是微分学的理论基础,它把函数的改变量同函数的导数联系起来,使得我们能够利用导数来研究函数及其图形的性态。本章我们将学习：●中值定理●洛必达法则●函数单调性、极值与最值的计算●曲线凹凸的判定●函数图形的作法●经济应用罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理中值定理§3.1中值定理泰勒定理我们先通过几何图形直观理解罗尔定理:3.1.1罗尔(Rolle)定理图1图2（1）连续；（2）可导；（3）端点处函

2、数值相等。如何证明？一、定理3.3.1(罗尔定理)函数f(x)在最大值点或最小值点处一阶导数为零。证明关键点证证明关键点：f(x)在最大值点或最小值点处一阶导数为零。故M和m不可能同时在区间端点a,b处取到，由极限的不等式性质知:证毕分母0分子0分式0注：(1)罗尔定理三个条件是充分条件，只要三个条件满足，就保证结论成立，若定理中的三个条件缺少其中任何一个，定理结论不一定成立.如下图:(2))()(bfaf¹图四不可导图三解：注意与零点定理应用的区别三、应用二、几何意义解：例2例3设为n次多项式，没有实根，试证明最多只有一个实根.证设至少有两个不等的实根，设为，不妨设因在上连续，在内可导

3、，且由罗尔定理知，至少存在一点使得方程的根，即是与题设矛盾.所以，最多只有一个实根.证：例4罗尔(1652-1719)是法国数学家.1652年4月21日生于昂贝尔特,1719年11月8日卒于巴黎.罗尔在数学上的成就主要是在代数方面,专长于丢番图方程的研究.罗尔于1691年在题为《任意次方程的一个解法的证明》的论文中指出了：在多项式方程　　　　的两个相邻的实根之间，方程至少有一个根。但罗尔并没有使用导数的概念和符号，后一个多项式实际上是前一个多项式的导数，罗尔只叙述了这个结论，而没有给出证明。这个定理本来和微分学无关，因为当时罗尔是微积分的怀疑者和极力反对者，他拒绝使用微积分，而宁肯使用繁难的代

4、数方法。但在一百多年之后，即1846年，尤斯托.伯拉维提斯将这一定理推广到可微函数,尤斯托.伯拉维提斯还把此定理命名为罗尔定理.根据待证结论构造辅助函数证例如：f(x)在以a,b为端点的区间上应用拉格朗日中值定理注：例1验证函数在区间上满足拉格朗日定理条件，并求出定理中的解因为函数为基本初等函数，故f(x)在[1,e]上连续，则存在一点，使得即故f(x)在[1,e]上满足拉格朗日中值定理的条件，