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《【精品】浅谈微积分中值定理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、论文提要在微分屮值定理的一般证法的基础上,给出了新的证明方法，同时具体的分析微分屮值定理在函数在某一点的局部性质：函数图象的走向；曲线凹口性的判断；积分屮值定理；等式及不等式证明等问题。浅谈微分中值定理柴洪雪摘要：本文讨论了三大微分中值定理之间的递进关系，并对中值定理进行了一定地推广，同时具体的分析了微分中值定理在证明等式、不等式以及讨论方程根的存在性等问题加以讨论、比较、总结。关键词：微分中值定理新证法罗尔定理推广1微分中值定理及相关概念所谓微分中值定理,其实是指一个（或多个）函数导数与其增量Z间的等式关系.通俗的讲,微分中值定理就是
2、包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、以及柯西小值定理等基本定理在内的定理的总称.以下是证明微分中值定理时用到的儿个概念.定义1（凸性）若函数］
3、
4、
5、线位于其每一点处切线的上方（下方），则称函数1111线时下凸（上凸）的，或称函数向下凸（上凸）.定义2（凹性）若y=f（x）的一阶导数广⑴在（Q"）上单调递增（或递减），则称/⑴在仏切是向上凹（卜•凹）的,或称函数illi线向上凹（卜•凹）.定义3俩数单调性）函数/⑴在定义域内，当"＜兀2时，有/（^,）＜/U2）（/（%!）＜/（X2））则称/（%）单调递增（严格单调递增）•当壬v兀2时，有（
6、/（州）〉/（兀2）），则称/（天）单调递减（严格单调递减）.定义4（极限的局部保号性）若lim/（x）＞limg（x）,则存在A〉0,任意xe（x0-A,Xf0兀（）+△），使得/⑴＞g（x）・定义5（最小值或最大值）设/（兀）在八上有定义，若存在xoe/使任意xe/,/（xo）＜/（x）（f（xo）＞/（%））,则/（兀0）称为于（兀）的最小值（最大值）.兀0为最小值点（最大值点）.定义6（极小值或极人值）设/（兀）在任意%eZ±有定义若存在x0e/,A＞0,任意XG（兀（）一△，兀（）+A）,都有/（x）＞/（x0）（/（%）＜/
7、（“））），则/（兀0）称为/0）的一个极小值（极大值），X（）称为极小值点（极大值点）.2微分中值定理普遍的证明法微分中值定理是微分学的基本定理，是构成微分学基础理论的重要内容。它包括罗尔中值定理、拉格朗F1中值定理、柯西中值定理。其中拉格朗F1中值定理是罗尔中值定理的推广,柯西中值定理是拉格朗H中值定理的推广。2.1费马定理定理1设/(%)在区间K有定义•若x0是函数/(%)的极值点，且/(兀)在x0处可导，则/'(x)=0.费马定理的几何意义:若将函数.f(x)的曲线置于平面肓角坐标系XOY,则费马定理具有几何意义:对曲线)=/(
8、x)上若有一点(兀0，/(兀。))存在切线，且勺为/(x)极值点.则这一点处的切线平行于兀轴.证明兀0为/W的极值点•设兀0为极小值点,则存在△>0,任意XG(X0-△,x04-A),/(X)-/(Xo)、0x-xQ取极限lim/⑴—'(兀。)少Jim'(兀)—兀观)分别为丁、S,由于/(%)在x0处可导,「>坊x~xoXfvj兀一X()则“S=lim公上沁•f0X-Xo山极限的局部保号性有T>(),5<0.故T=S=().所以有lin/⑴一/久)=0,XT%x-xQ即广(xo)=O.2.2罗尔中值定理定理2设/⑴满足：⑴在闭区间肚叶上
9、连续；(2)在开区间(d,b)内可导；⑶f(a)=/(/?),则至少存在一点ge(a,b)使得/W=0-罗尔定理的儿何意义:若/(兀)满足罗尔定理的条件，则在曲线y=f(x)上至少存在一点PH，使得点P处的切线平行于兀轴(如图)，其小A(d,.f(d)),B(b,f(b))■p证明由于在闭区间上连续，从而存在最大值M,最小值加.若M=加则对任意xe［a,b］有/(x)=M=m,UPf(x)为常函数，所以广(x)=0.若M>m,ill于f(a)=f(b).M与加不同时为区间的端点，不妨设MH/(a)=f(b)，所以M必为/(x)的极大值.
10、设/⑷=M，则有gg(a,b)，且/(x)在(a,b)内可导，根据费马定理可知广@)=0.证毕.2.3拉格朗日中值定理定理3若函数/(力满足：(1)在闭区间［d,b］上连续；(2)在开区间(d,b)内可导;则至少存在一点使得/W=Z(^Z(£)b-a证法利用罗尔中值定理，构造辅助函数.FM=/(x)-f(a)+(x-6/).b-a2.4柯西中值定理定理4设函数/(%)>g(X)满足：⑴在闭区间［a,叶上连续；(2)在开区间(。上)内可导，且g©)H0,则至少存在一点使广©二/(b)-/(a)g'(§)g(b)-g(a)3中值定理的推广
11、3.1拉格朗日中值定理的新证法证明拉格朗日中值定理的-•种新方法，即从罗尔定理出发，采用复合函数求导法则证明拉格朗日中值定理，证明过程更加清晰易懂。证明(利用分析法证明拉格朗日屮值定理)要证存在§w(a,b
