无界域上带hardy项和临界非线性项的半线性椭圆问题的全局紧性结果

《无界域上带hardy项和临界非线性项的半线性椭圆问题的全局紧性结果》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、中国科学A辑:数学2009年第39卷第7期:840∼854www.scichina.commath.scichina.com无界域上带Hardy项和临界非线性项的半线性椭圆问题的全局紧性结果金玲玉①,邓引斌②∗①华南农业大学理学院,广州510642②华中师范大学数学系,武汉430079E-mail:ybdeng@public.wh.hb.cn收稿日期:2008-01-10;接受日期:2009-01-06;*通信作者国家自然科学基金(批准号:10631030,10871075)、中国教育部博士专项基金(批准号:20060511001)和华南农业大学校长基金(批准号:4900-k0741

2、8)资助项目摘要本文讨论了下面一类带Hardy项和临界非线性项的半线性椭圆问题:.−Δu−μu2+a(x)u=

3、u

4、2∗−2u+k(x)

5、u

6、q−2u,

7、x

8、u∈H1(RN)(∗)的全局紧性结果及其正解的存在性,其中2∗=2N/(N−2)是临界的Sobolev指标,2

9、μu2+a(x)u=

10、u

11、2∗−2u+k(x)

12、u

13、q−2u,

14、x

15、u∈H1(RN),(1)其中2∗=2N/(N−2)是临界Sobolev指数,0™μ<μ¯¾(N−2)2/4,2

16、除这些因素,得到对应问题正解的存在性.引用格式:金玲玉,邓引斌.无界域上带Hardy项和临界非线性项的半线性椭圆问题的全局紧性结果.中国科学A,2009,39(7):840–854JinLY,DengYB.AglobalcompactresultforasemilinearellipticproblemwithHardypotentialandcriticalnonlinearitiesonRN.SciChinaSerA,2009,52,DOI:10.1007/s11425-009-0075-x中国科学A辑:数学第39卷第7期早在上世纪80年代,Struwe[1]和Lions[2]讨

17、论了一类带临界Sobolev非线性项的椭圆问题,得到了问题在有界域上的全局紧性结果.Br´ezis和Nirenberg[3]通过验证方程的能量泛函小于某个能量水平,得到了一类带临界Sobolev非线性项的椭圆问题正解的存在性.1995年,Pierrotti和Terracini[4]通过紧性分析方法,讨论了一类带Neumann边值条件和临界非线性项的椭圆问题.2003年,Cao和Peng[5]讨论一类带临界非线性项和Hardy项的椭圆问题,得到了问题的全局紧性结果,并阐述了由问题中的Hardy项导致的一些新的爆破(blowup)现象.近二十年来,无界域上的椭圆问题也是人们讨论的焦点.例

18、如Lions[2,6]对于RN上的某些非线性椭圆方程以及对应的一些极小化问题建立了集中紧性原理.Benci和Cerami[7]讨论了无界域上一类带次临界指标的椭圆问题,得到了问题的全局紧性结果.Zhu和Cao在文献[8]中也得到了一些类似的结果.最近Smets[9]研究了下面问题:.−Δu−μu2=K(x)u2∗−1,

19、x

20、u>0,u∈D1,2(RN),(2)其中2∗=2N,K(x)满足一定条件.Smets在文献[9]中建立了问题(2)的一个全局紧性结N−2果,并通过这一紧性结果得到了该问题解的存在性.在建立该紧性结果时,问题(2)所对应的变分泛函的任意一个PS序列{un}的定

21、义域被分为两部分,一部分限制在球B(R)上,另一部份限制在RNB(R)上.限制在球内的序列{un}可以认为是紧的(集中紧性原理的情形之一).而在球外部分可通过Kelvin变换转化到球内来.在这里,Kelvin变换能成功的应用是由于问题(2)的右边仅含临界非线性项.本文建立了问题(1)所对应的变分泛函的PS序列的一个全局紧性结果,通过这个紧性结果,得到了问题(1)正解的存在性.由于问题(1)在无穷远处的极限方程存在正解,这使得该问题中出现了除Hardy项和