非经典反应扩散方程全局吸引子的分型维数.pdf

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1、2013年3月四川师范大学学报(自然科学版)Mar．，2013第36卷第2期JournalofSichuanNormalUniversity(NaturalScience)V01．36．No．2非经典反应扩散方程全局吸引子的分型维数赵娟霞，汪璇(西北师范大学数学与信息科学学院，甘肃兰州730070)摘要：研究了具有衰退记忆的非经典反应扩散方程的周期边值问题，通过应用一些最新结果，运用半群理论的方法和分型维数定理，获得了该方程当非线性项g(“)满足临界增长条件且g()∈C(R，R)时其全局吸引子的分形维数是有限的，对文献的一些结果作了改进和推广．关键词：非经典反应扩散方程

2、；全局吸引子；分型维数；临界指数；衰退记忆中图分类号：O175．8文献标志码：A文章编号：1001—8395(2013)02—0211—05doi：10．3969／j．issn．1001—8395．2013．02．011考虑如下具有衰退记忆的非经典反应扩散方数定理研究了该方程当非线性项g(／／,)满足临界指程的周期边值问题数条件且g()∈C。(R，R)时其全局吸引子的分型u一A／2,￡一△u一维数是有限的．·∞J(s)△“(，t—s)ds+g(“)=厂()，J01预备知识z￡(，t)=uo(，t)，∈R。，t≤0，首先，定义空间u(，t)=M(+L，t)，∈R，t∈R，

3、(1)其中，。(，t)是当∈R。，t≤0时的已知周期函数，￡；。()={M∈￡()lJf1"1udx=0，且假设L=L，i=1，2，3．3u在中的周期为，=n(0，)}．目前，产生于力学和物理学的耗散系统的动力学行为备受关注，尤其是它的实用价值H]．例如。，()={E()lJnudx：0，具有耗散作用的一些有限维动力系统的全局吸引3子、惯性流行、分型维数和Hausdorff维数已被广泛u在中的周期为L，=I-I(0，￡)}，研究并建立了一些基本定理．其中，(·，·)和lI·Il表示(12)中的内积和范数文献[3]讨论了具有周期边值条件的Benjamin为了便于估计，令(

4、s)=一(s)，针对方程—Bona—Mathony方程的吸引子的存在性，文献[4(1)假设满足以下条件：—5]运用积分微分算子在有界开区域cR中描1)(∞)=0；述了粘弹性方程．文献[6]运用半群理论研究了无2)(s)满足：衰退记忆的非经典反应扩散方程强解的全局吸引(h1)／x(s)∈C(R)nL(R)；子的存在性，文献[7]运用分型维数定理研究了具(h2)(s)>10，(s)≤0，Vs∈R；有衰退记忆的非经典反应扩散方程当其非线性项(h3)j6>0，Vs∈R，(s)+4(s)≤0；g(“)满足次临界指数条件时其全局吸引子的分型维数是有限的．3)g()∈C(R，R)满足

5、：而关于具有衰退记忆的非经典反应扩散方程(g)sup

6、r)dr，s≥0，llll，=lI【l，，llJl，V2=IlIl，，1=，×：(R，1)，，Y2：×：(R，)．则有为得所需结论，给出如下相关定理．a(，S)=u(，s)一a叩‘(，S)，t≥0，5≥0．定理1．1r当记忆核(s)满足条件(h，)～因为(∞)=0，所以由分部积分得(h)，非线性项g(u)满足条件(g)～(g)时，由方I(s)／Xu(，t—s)ds=程(4)和(5)生成的解半群S()有一全局吸引子A，它是紧的、连通的、极大的，且吸引中的任意)d(酬s有界集．一J。)△(J。n(一)d)=2主要结论J(s)△叼(，s)ds，首先，给出以下引理描述一个集合是

7、有限维的．引理2．1[。设B为Hilbert空间中的任意则(1)式可变形为以下形式／,￡一／X“￡一△u—有界集．映射：B—满足日c(B)，且I1V()一V()lI≤fl_一ll，V，∈B，l(s)△叼(，s)ds+g(u)=I厂()，(4)llQV()一QV()ll≤6ll一Il，6<1，且／／,(，t)和．r7(，s)满足以下初始边界条件其中，Q：一为正交投影，是由中前Ⅳ个M(，t)=／／,(+L，t)，叼(，s)=77(+L，s)，元素生成的，即方程的前Ⅳ个特征函数(，S)∈RXR，t≥0．一△()=A()，(+Le)=()，u(，