具有衰退记忆的非自治非经典扩散方程的强吸引子.pdf

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1、数学年刊2013，34A(6)：671-688具有衰退记忆的非自治非经典扩散方程的强吸引子冰汪璇居文超钟承奎2提要在强拓扑空间明(Q)n日。(Q)×L(R+；础(Q)n日(Q))中，讨论了具有衰退记忆的非自治非经典扩散方程当非线性项临界增长时的长时间动力学行为．当与时间相关的外力项仅满足平移有界而非平移紧时，首先得到了强解的渐近正则性，然后获得了强吸引子的存在性及其结构与正则性．该结果推广和改进了一些已有结果．关键调非经典扩散方程，一致吸引子，临界指数，渐近正则性，衰退记忆MR(200O)主题分类34Q35

2、，35B40，35B41中图法分类O175．27，O175．29文献标识码A文章编号1000-8314(2013)06-0671—18其中Q为R“(佗≥5)上的有界域．关于外力项g，设g(x，t)∈LD2(IR；明(Q))(即平移有界)．对于非线性项，设，为Lipschitz连续函数且满足]imsup<1，(1．2)lsl--+c~8I，(s)I≤C(1+Islp)，Vs∈，P≤=_二，n≥5．(1．3)，0一‘±本文的结果推广和改进了一些已有结果[1-4】．因为在强拓扑空间上临界指数为，我们不能利用在弱拓

3、扑空间上的已知结果去证明强拓扑空间上的一致有界吸收集的存在性．为了证明以上结果，关于非线性项，我们必须增加条件(该条件与紧性验证无关)：，(s)≤f，Vs∈，(1,4)其中正常数f<每，且Al为在础)中的第一特征值，A=一△．有许多函数满足条件(1．4)．例如，当f(u)=u一。时，f(u)满足条件(1．4)．不失一般性，设／(o)：0．本文2012年11月6日收到，2013年4月16日收到修改稿．西北师范大学数学与统计学院，兰州730070．E．mail：wangxuan~nwnu．edu．cn；8351

4、75199~qq．corn南京大学数学系，南京210093．E-mail：ckzhong~lzu．edu．cn本文受到国家自然科学基金(No．11101134，No．11361053)和西北师范大学青年教师科研能力提升计划项目(No．NWNU—LKQN一11—5)的资助．数学年刊34卷A辑在我们所研究的方程中，衰退记忆的影响是通过函数△札(·)和记忆核(·)的线性卷积项来体现．如文[5-8]，设南(·)∈C(豫+)，k(s)≥0，kI(s)≤0，Vs∈腿+．设函数(s)=一kI(s)并满足∈C(Ⅱ+)nL(

5、+)，(s)≥0，s)≤0，Vs∈Ⅱ+，(1．5)(s)+(s)≤o，Vs≥o，(1．6)其中为正常数显然，k(s)和(s)沿指数衰退到零，即为我们将要提到的长时期的衰退记忆．在1980年，Aifantis在文[9]中提出的经典反应扩散方程r“t一△u：f(u)+g(1．7)并没有包含反应扩散问题的各个方面，即始终忽略了固体扩散过程中媒质的诸如粘性、弹性、压力等因素．同时，Aifantis在研究中发现，作为揭示扩散过程的能量方程，它的构成是随着扩散物质的性质的不同而不同．例如，反应扩散过程中的传播媒质有没有

6、压力、有没有黏弹性或衰退记忆，其相应的构成方程是不同的．他通过一些实例，建立了扩散过程中考虑粘性、弹性、压力等因素的数学模型，综合为以下的非经典扩散方程：Ut—Aut一△钆=／(u)+g．(1．8)在反应扩散过程中如果我们考虑传播媒质的黏弹性，就需要在研究模型(1．8)中增加衰退记忆项，产生的模型即为我们将要研究的具有衰退记忆的非经典扩散方程．它相对于通常的非经典扩散方程，在衰退记忆的影响下能量耗散的速度更快．能量的传递不仅受到现时外力的影响，而且还受到历史外力的影响．该方程作为通常的非经典扩散方程的推广情

7、形来源并被运用于流体力学、固体力学以及热传导理论领域[9-11J．因为方程(1．1)包含一△项，它相对于具有衰退记忆的经典反应扩散方程存在着本质上的区别．具有衰退记忆的经典反应扩散方程的解具有更高的正则性．但是对于具有衰退记忆的非经典扩散方程，由于一△t项的影响，如果初值属于弱拓扑空间，则对应的解始终在弱拓扑空间没有更高的正则性．因此，我们不能应用Sobolev紧嵌入来验证解过程的渐近紧性．近三十年来，有许多前人致力于研究非自治动力系统理论[12-191．关于非经典扩散方程(1．8)解的长时间行为的讨论已经

8、有很多研究成果[1,4,20-21】．在文[4_中，当非线性项次临界增长以及外力项g(x)∈L0(Q)时，作者证明了全局吸引子在础(Q)中的存在性．而在文f1】中，作者在自治情形下对于非线性项为临界指数增长，当外力项仅属于日()时，证明了全局吸引子的存在性；在非自治情形下，当外力项仅属于(；L(Q))时，作者还证明了一致吸引子和指数吸引子的存在性．据我们所知，方程(1．1)在强拓扑空间础(Q)n日(Q)×(+；砩