挖掘中点-构造中位线.docx

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1、挖掘中点，构造中位线济宁市梁山县小路口镇初级中学郑继春（适用于鲁教版初三版12月刊）三角形中位线定理是平面几何中一个重要定理，它既反映了线段之间的位置关系，又呈现了线段之间的数量关系.三角形中位线定理在一些几何解题中常见它的身影.特别是遇到中点时，经常要联想到三角形的中位线定理，利用三角形中位线定理能起牵线搭桥甚至是关键性的作.但是，在解题时往往只知道一个中点，而另一个中点就需要同学们根据题目的特点，自己去挖掘.下面举几例向同学们介绍几种在不同条件下挖掘中点的方法，供同学们学习时参考.一、直接取中点.例1、已

2、知：如图，为的高，∠=2∠，为中点，求证：证明：取中点，连结，则∥,且,∠=∠又中，为斜边中点，∴∴∠=∠,又∵∠=∠=∠+∠=2∠∴∠=∠,∴∴【感悟】：此题中，和位置较远，不易推导关系.通过添中位线把转化成,在和之间架起了一座桥梁，问题迎刃而解.二、利用等腰三角形的“三线合一”找中点.例2、△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD,E为BC的中点，求证：DE∥AB.证明：延长CD交AB于F∵AD平分∠BAC∴∠BAD＝∠CAD∵CD⊥AD∴∠ADC＝∠ADF＝90∵AD＝AD∴△ACD≌△AFD（ASA）

3、∴CD＝FD∵E是BC的中点∴DE是△BCF的中位线∴DE∥AB【感悟】：本题关键是挖出隐含的中点，从而来使问题得以解决.如图若我们延长交于带点,根据题中条件容易证得≌,所以,即为的中点；又为的中点，根据三角形的中位线定理可以得出.三、利用平行四边形的对角线的交点找中点例3、如图，，为线段的中点,三点在同一条直线上.求证：MD∥BC.证明：连结BE，交AM于O.∵，∴四边形ABME为平行四边形.∴点O为BE的中点.又∵D为CE的中点，∴OD为△BCE的中位线，∴OC∥BC,即MD∥BC.【感悟】要证明MD∥B

4、C.除了以前常用的方法外，现在三角形的中位线定理又使我们多了一条途径.根据本题的条件已经有了为线段的中点，若再找一个且是同一个三角形边的中点,连结就有了三角形中位线，有些中点是明显的，有的中点却是“隐藏”在图形中，需要用平时积累的知识使它现身.本题的可以得出：四边形是平行四边形，平行四边形的对角线是互相平分的，若我们连结对角线与对角线的交点就是线段的中点，在中，根据三角形的中位线定理可以得出OC∥BC，即MD∥BC.总之，隐含在图形中的中点往往是我们平时容易忽视的，但挖出这些“隐藏的中点”往往有可能是一道题破

5、题的一个关键环节.根据上面三道例题来看，隐藏的中点要注意平行四边形（包括特殊的平行四边形）的对角线互相平分、角的平分线与垂线相结合的图形交点、等腰三角形的三线合一等等知识点.