构造三角形中位线解题

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1、构造三角形中位线解题三角形的中位线是三角形中的重要线段，通过添加三角形的中位线来解决几何证明题是行之有效的方法．现就构造三角形的中位线解决几何证明问题举例分析如下，以帮助同学们学习．一、构造三角形的中位线证明线段相等：例1．如图1，D、E、F分别是等边△ABC的边AB、BC、AC的中点，P为BC上任意一点，△DPM为等边三角形，求证：EP=FM解析：由D、E、F是中点，想到连中位线DE、DF，这样将EP、FM放到△DPE和△DMF中，如果这两个三角形全等，则结论成立．证明：连结DF、DE，则DF∥BC，DE∥AC，且，∴四边形DECF是平行四边形．∴∠C=∠EDF，∵△ABC、△DPM

2、为等边三角形，∴BC=AC，∠C=600，DP=DM，∠PDM=600，∴DE=DF．又∵∠EDP=∠EDF-∠PDF，∠FDM=∠PDM-∠PDF，∴∠EDP=∠FDM，∴△DEP≌△DFM．∴EP=FM．规律方法总结：题中有中点，并且求线段的相等，经常通过构造三角形的中位线应用全等来证明．二、构造三角形的中位线证明线段的不等：例2．如图2．E、F分别是四边形ABCD两对角线AC、BD的中点，求证：解析：从结论的右边，可以想到证明EF大于△ABC、△DBC中位线差的一半，为此想到构造三角形的中位线．证明：如图2，取BC的中点G，连结FG、EG，在△EFG中有已知E、F分别为AC、BD

3、的中点，∴EG=．∴规律方法总结：线段的不等关系的证明是几何证明题的一个难点，但遇到中点时可以通过构造三角形的中位来证明，既方便又快捷．另外，对于本题的结论可以改为当AB∥CD时有结论三、构造三角形的中位线证明线段之间的倍数关系：例3．如图3，AD为△ABC的高，∠B=2∠C，M为BC的中点，求证：DM=．解析：由M是BC的中点，要证明DM=，想到利用中位线定理构造，即取AC的中点N，连结MN、DN只需证明MN=DM，这可由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及∠B=2∠C证得．证明：取AC的中点N，连结MN，DN如图2，又∵M为BC的中点，∴MN∥AB，且，∴∠B=∠NMC．∵AD为

4、△ABC的高，N为AC的中点，∴DN=CN，∴∠C=∠NDC，∵∠NMC=∠NDC+∠MND，∠B=2∠C，∴∠MDN=∠MND=∠C．∴MD=MN，∴MD=规律方法总结：题目中有线段的倍数并有中点，经常构造中位线解题．也经常用到直角三角形斜边的中线等于斜边的一半来证明．