如何构造中位线

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1、素材：如何构造中位线一、连中点，构造三角形的中位线　　例1　如图1，D、E、F分别是等边三角形ABC的边AB、BC、AC的中点，P为BC上任意一点，△DPM是等边三角形.连接FM.那么EP与FM相等吗？为什么？　　分析：由D、E、F是中点，想到连接中点，得到中位线DE、DF.这样就可以把EP、FM放到△DPE、△DMF中，进而推出它们全等使问题得以解决.　　解：连接DF、DE.　　因为D、E、F分别是等边三角形ABC的边AB、BC、AC的中点，所以DF∥BC，DF=BC；DE∥AC,DE=AC.所以四边形DECF是平行四边形.　　所以∠C=∠EDF=60°.　　因为△A

2、BC、△DPM是等边三角形，　　所以BC＝AC，DP＝DM，∠PDM＝60°.所以DF＝DE.　　因为∠EDP＝60°－∠PDF，∠FDM＝60°－∠PDF，　　所以∠EDP＝∠FDM.所以△DEP≌△DFM.所以EP＝FM.跟踪训练1如图2，四边形ABCD中，AC=BD，AC、BD相交于点O，M、N分别是边AB、CD的中点，MN交BD于点E、交AC于点F.OE与EF相等吗？为什么？二、找中点，构造三角形的中位线　例2　如图3，在四边形ABCD中，AB＝CD，M、N分别是BC、AD边的中点，延长BA、MN交于点F，延长CD交MF于点E.请说明∠1与∠2相等.　　分析：因

3、为M、Ｎ分别是BC、AD的中点，若连接BD，取其中点G，再连接NG、MG,则NG∥AB，NG＝AB，MG∥CD，MG＝CD.这样把∠1与∠2通过中位线移到同一个等腰三角形ＧMＮ中，从而使问题得以解决.　　解：连接BD，取BD的中点G，连接NG、MG，则NG∥AB，NG＝AB，MG∥CD，MG＝CD.　　所以∠1＝∠GNM，∠2＝∠GMN.　　因为AB＝CD，所以NG＝MG.所以∠GNM＝∠GMN.所以∠1=∠2.跟踪训练2　如图4，△ABC的一个外角平分线AE与过点C的直线互相垂直，垂足为点E，D为BC的中点，试说明：DE∥AB，且DE=（AB+AC）答案:1.解：取A

4、D的中点Ｇ，连接GM、GN，得GM∥BD，GN∥AC，且GM＝BD，GN＝AC，因为AC＝BD，故GM＝GN，所以∠GMN＝∠GNM，又∠OEF＝∠GMN，∠OFE＝∠GNM，所以∠OEF＝∠OFE，所以OE＝OF．2.解：延长BA、CE相交于点F，由AE⊥CF，AE平分∠CAF，得EF＝EC，AF＝AC，又D是BC的中点，所以DE是△BCF的中位线，故有DE∥AB，且DE=BF=（AB+AC）．