重视应用三角形中位线解题.doc

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1、重视应用三角形中位线解题姓名一.利用现有中点，构造平行四边形例1.（2007年株洲）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，M、N、P、Q分别是AD、BC、BD、AC的中点；求证：MN与PQ互相垂直平分.二.利用现有中点，构造全等三角形例2.（2007年辽宁）如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．（1）如图①，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；（2）如

2、图②，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立，请利用图②证明；若不成立，请说明理由；（3）若点M在点C右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立?请直接写出结论，不必证明或说明理由．图①图②图③A·BCDEF···（1）判断：EN与MF相等（或EN=MF），点F在直线NE上，（2）成立．证明：法一：连结DE，DF．∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC．又∵D，E，F是三边的中点，∴DE，DF，EF为三角形的中位线．∴DE=DF=EF，∠FDE=6

3、0°．又∠MDF+∠FDN=60°，∠NDE+∠FDN=60°，∴∠MDF=∠NDE．在△DMF和△DNE中，DF=DE，DM=DN，∠MDF=∠NDE，∴△DMF≌△DNE．NCABFMDENCABFMDE∴MF=NE．　法二：延长EN，则EN过点F．∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC．又∵D，E，F是三边的中点，∴EF=DF=BF．∵∠BDM+∠MDF=60°，∠FDN+∠MDF=60°，∴∠BDM=∠FDN．又∵DM=DN，∠ABM=∠DFN=60°∴△DBM≌△DFN．∴BM=FN．∵BF=EF，∴MF=EN．法三：连结DF，NF．∵△

4、ABC是等边三角形，∴AC=BC=AC．又∵D，E，F是三边的中点，∴DF为三角形的中位线，∴DF=AC=AB=DB．又∠BDM+∠MDF=60°，∠NDF+∠MDF=60°，∴∠BDM=∠FDN．在△DBM和△DFN中，DF=DB，DM=DN，∠BDM=∠NDF，∴△DBM≌△DFN．∴∠B=∠DFN=60°又∵△DEF是△ABC各边中点所构成的三角形，∴∠DFE=60°．∴可得点N在EF上，∴MF=EN．（3）画出图形（连出线段NE），MF与EN相等的结论仍然成立（或MF=NE成立）．三.选择新中点，构造全等三角形例3.（2007年广州）已知Rt△

5、中，，在Rt△中，，连结，取中点，连结和．（1）若点在边上，点在边上且与点不重合，如图①，求证：且；（2）如图①中的△绕点逆时针转小于45°的角，如图②，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．