三角形中位线的应用

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1、三角形中位线的应用我们学习了三角形中位线的性质：三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。在平面几何中，三角形的中位线有着广泛的应用。一、应用于计算：例1、如图，已知在△ABC中，CE是∠ACB的角平分线，AE⊥CE,D是AB的中点，BC=20,AC=14.求DE的长.解：延长AE交BC于F。因为CE平分∠ACB所以∠ACE=∠FCE因为AE⊥CE所以∠AEC=∠FEC=90所以△ACE≌△FE所以AE=EF.AC=FC又因为AD=DB所以DE=BF=(BC-FC)=(BC-AC)=×(20-14)=3.例2.如图，已知在△ABC中，AD平分∠BAC,B

2、D⊥AD,DE∥AC且交AB于E，若AB=5，求DE的长.解：延长BD交AC的延长线于点F。因为AD平分∠BAC，BD⊥AD，所以△ABF是等腰三角形，点D为BF的中点。又因为DE∥AC，所以DE为△ABF的中位线，DE等于AF的一半。因为AB=AF，所以DE=2.5二、应用于证明：例3、如图，在四边形ABCD中，AD=BC,E、F分别是为AB、CD的中点,AD、BC的延长线分别交EF的延长线于H、G，求证：∠AHE=∠BGE。证明：连接BD，取BD中点I，连接IF，IE∵E,F分别是BC,AD的中点∴IF∥BC,IF=BC，IE∥AD,IE=AD∴∠IFE=

3、∠BGE，∠IEF=∠CHE.又∵AD=BC∴IF=IE∴∠IFE=∠IEF，∴∠BGE=∠CHE.例4、如图，已知四边形ABCD中，AB、CD不平行，E、F分别是AB、CD的中点，求证：MN＜（AB+CD）。证明：取BD的中点E，连结EM、EN∵点M是AD的中点，点N是BC的中点，∴ME=AB，NE=CD在△EMN中，EM+EN＞MN∴AB+CD＞MN即MN＜（AB+CD）。