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时间:2020-05-12
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1、挖掘中点,构造中位线济宁市梁山县小路口镇初级中学郑继春(适用于鲁教版初三版12月刊)三角形中位线定理是平面几何中一个重要定理,它既反映了线段之间的位置关系,又呈现了线段之间的数量关系.三角形中位线定理在一些几何解题中常见它的身影.特别是遇到中点时,经常要联想到三角形的中位线定理,利用三角形中位线定理能起牵线搭桥甚至是关键性的作.但是,在解题时往往只知道一个中点,而另一个中点就需要同学们根据题目的特点,自己去挖掘.下面举几例向同学们介绍几种在不同条件下挖掘中点的方法,供同学们学习时参考.一、直接取中点.例1、已
2、知:如图,为的高,∠=2∠,为中点,求证:证明:取中点,连结,则∥,且,∠=∠又中,为斜边中点,∴∴∠=∠,又∵∠=∠=∠+∠=2∠∴∠=∠,∴∴【感悟】:此题中,和位置较远,不易推导关系.通过添中位线把转化成,在和之间架起了一座桥梁,问题迎刃而解.二、利用等腰三角形的“三线合一”找中点.例2、△ABC中,AD平分∠BAC,CD⊥AD,E为BC的中点,求证:DE∥AB.证明:延长CD交AB于F∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD∵CD⊥AD∴∠ADC=∠ADF=90∵AD=AD∴△ACD≌△AFD(ASA)
3、∴CD=FD∵E是BC的中点∴DE是△BCF的中位线∴DE∥AB【感悟】:本题关键是挖出隐含的中点,从而来使问题得以解决.如图若我们延长交于带点,根据题中条件容易证得≌,所以,即为的中点;又为的中点,根据三角形的中位线定理可以得出.三、利用平行四边形的对角线的交点找中点例3、如图,,为线段的中点,三点在同一条直线上.求证:MD∥BC.证明:连结BE,交AM于O.∵,∴四边形ABME为平行四边形.∴点O为BE的中点.又∵D为CE的中点,∴OD为△BCE的中位线,∴OC∥BC,即MD∥BC.【感悟】要证明MD∥B
4、C.除了以前常用的方法外,现在三角形的中位线定理又使我们多了一条途径.根据本题的条件已经有了为线段的中点,若再找一个且是同一个三角形边的中点,连结就有了三角形中位线,有些中点是明显的,有的中点却是“隐藏”在图形中,需要用平时积累的知识使它现身.本题的可以得出:四边形是平行四边形,平行四边形的对角线是互相平分的,若我们连结对角线与对角线的交点就是线段的中点,在中,根据三角形的中位线定理可以得出OC∥BC,即MD∥BC.总之,隐含在图形中的中点往往是我们平时容易忽视的,但挖出这些“隐藏的中点”往往有可能是一道题破
5、题的一个关键环节.根据上面三道例题来看,隐藏的中点要注意平行四边形(包括特殊的平行四边形)的对角线互相平分、角的平分线与垂线相结合的图形交点、等腰三角形的三线合一等等知识点.
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