基于函数型数据分析的恒生指数期权研究.pdf

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1、经济研究IECONOMICRESEARCH基于函数型数据分析的恒生指数期权研究田和鹭山东大学山东济南250100【摘要】相对于中国内地的期权期货市场，香港交易市场已趋于成熟。(f)=c(f)随着科技的发展，交易数据量的增加，传统的数理统计分析已经不能满足k=l金融衍生品研究的需求。函数型数据分析(FDA)是将观测数据看成一个整对于B一样条基函数平滑法，首先将观测点所在的区间用断点序列体，从函数的角度对其进行分析，可以提高准确度并减少计算复杂度。本文r(fo，，．．．，)(to与为定义区间两端点)分成L个子区间，在每个子区间以香港恒生指数期权为例进行分析。上，定义一个m阶的多项式，相邻多项式在

2、内断点处取值相同，并且在定首先，本文利用Black-Scholes-Merton期权定价模型，对恒生指数期权义域上存在m-20(~-数，B一样条基函数定义为：进行定价研究，发现模型计算的理论价格低于实际价格，并对这·现象给轧￡“出分析。由于期权交易的频繁性，本文将期权的日收益率看成函数型数据，用B一样条基函数进行拟合，并结合惩罚函数法对拟合函数的光滑度进行控专f)I(，)制。之后对拟合好的函数进行函数型主成分分析(FPCA)，并通L~Matlab及在有了基函数之后，我们只需确定基函数个数K和其系数c。即可。相关软件包进行实现。最后提出函数型主成分预测模型及模型的改进之其中K决定了观测数据y；

3、的平滑度，K越小，拟合的函数越平滑，但拟合处。度越差。为权衡拟合度和光滑度，我们用惩罚函数法来确定系数与基函【关键词]Black—Scholes—Merton模型；函数型数据；惩罚函数法；主成分数个数。(枷∑(2()分析定义带惩罚项的残差平方和：I(Y一c】w(Y一。c)+^m)一Black-Scholes-Merton期权定价模型上式中第一项衡量了曲线的拟合效果，第二项衡量了曲线的光滑在之前的期权定价模型中，投资者风险态度及期权预期收益率的度。通过求解最小化PENSSR．~(x[y)以获得估计函数，其中惩罚项越大，曲确定是难点，而1976年Black-Scholes—Merton的期权定价

4、模型很好的线越粗糙，且正常数表示拟合度和光滑度之间的权衡。解决了这一问题。三．函数型主成分分析该模型假设“：股票价格s(t)服从几何布朗运动，证券交易连续进当我们想对数据进行降维分析时，如果观测数据相当大，此时样本行，无摩擦t短期无风险利率r为常数；不存在无风险套利机会，在期权的协方差矩阵维数将会很大，如果对这样的协方差矩阵直接进行主成期限内，股票不支付股息。在上述假设下，设股票S的期权价格为f，到分分析，得到的结果将并不会理想。期期限为T_‘t，构造一份期权空头和△数量股票的交易组合。在／xt时间此时，我们将数据看称作函数的形式，在对数据进行主成分分析。内，资产组合价值Ⅱ变化为AI-I=一

5、4厂+A·，~]Ito公式有：设观测矩阵131为)((仉(r))1，．-·，r))，每次观测得到的数据构成一个函数型数据X：(t)。一一I+善+·l+△+对构造得到的函数型数据其进行主成分分析，设(f)为权重函数，为消除随即项，令△：望，根据无套利原理，△nFirm，即第一主成分的求解即在下述约束条件下的最大化问题：．部m“+rSfs+S一rf=0专喜∽]此OPBlack-Scholes—Merton微分方程，由此可见该方程中无期望“．f【㈤】dt=I1~1=1收益率“，因此该方程与风险选择无关。该方程的解不唯一，与边界条函数型主成分分析即对在B一样条拟合时得到的矩阵求解特征值件有关。以看涨

6、期权为例，当执行价格为k时，边界条件为：和特征函数，求解策略便是将连续的函数型特征分析问题转化为近似f：max(S-K，0)当t=T时矩阵的特征分析问题，这可通过对函数进行离散化或对函数进行基函对于上述微分方程，利用Feynman-Kac公式可得解数展开实现。C=Ⅳ()一KeⅣ()四、香港恒生指数期权的实证研究其中Ⅳ(·)为标准正态累计概率分布函数，本文所采用的数据来自香港证券交易所官方网站www．hkex．corn衍生品交易数据库，选取交易量较为活跃的前5个看涨期权进行研究：学(均在存续期)。：厉4．1Black—Scholes模型理论价格与实际价格比较二．函数型数据分析由Black-Sc

7、holes模型可知，期权的价值与指数S．，执行价格K，无2．1函数型数据分析的基本概念风险利率r，到期日时间T一-t以及波动率d有关。本文根据历史数据资料函数型数据分析(FunctionDataAnalysis，简称FDA)最早由加求得的收益率的标准差来估算波动率。同时，无风险利率采用一年期银拿大学者Ramsay提出，当观测的时间点十分密集时，这些数据表现出行利率代替。一些的函数特征。函数型数据分析的基本出发