（新课标）高考数学复习考点集训（三十三）第33讲等比数列及其前n项和新人教A版.docx

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1、考点集训(三十三)　第33讲　等比数列及其前n项和对应学生用书p236A组题1．等比数列{an}的前n项和为Sn＝a·3n－1＋b，则＝(　　)A．－3B．－1C．1D．3[解析]∵Sn＝a·3n－1＋b,∴a1＝S1＝a＋b，n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2a·3n－2，因为数列是等比数列，∴a＋b＝2a×，即b＝－a，＝－3.[答案]A2．(多选)等差数列{an}的前n项和是Sn，公差d不等于零，若a2，a3，a6成等比数列，则(　　)A．a1d>0B．S2＝0C．dS3>0D．a1a2>0[解析]由a2，a3，a6成等比数列，可得a＝a2a6，可得(a1＋2d)2

2、＝(a1＋d)(a1＋5d)，即2a1d＋d2＝0，∵公差d不等于零，∴a1d<0，S2＝2a1＋d＝0，a1a2＝－<0.∴dS3＝d(3a1＋3d)＝d2>0.[答案]BC3．已知各项都是正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝10，S30＝70，则S40＝(　　)A．150B．140C．130D．120[解析]由等比数列的性质，得：S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比数列，∴(S20－S10)2＝S10·(S30－S20)，即(S20－10)2＝10(70－S20)，解得S20＝30(负值舍去)．因为＝＝2，所以S40－S30＝2(

3、S30－S20)＝80，S40＝S30＋80＝150.[答案]A4．数列{an}中，已知对任意n∈N*，a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，则a＋a＋a＋…＋a等于(　　)A．(3n－1)2B.(9n－1)C．9n－1D.(3n－1)[解析]∵a1＋a2＋…＋an＝3n－1，n∈N*，n≥2时，a1＋a2＋…＋an－1＝3n－1－1，∴当n≥2时，an＝3n－3n－1＝2·3n－1，又n＝1时，a1＝2满足上式，∴an＝2·3n－1，故数列{a}是首项为4，公比为9的等比数列．因此a＋a＋…＋a＝＝(9n－1)．[答案]B5．已知等比数列{an}中各项均为正数，Sn是其

4、前n项和，且满足2S3＝8a1＋3a2，a4＝16，则S4＝________．[解析]由题意得，2(a1＋a2＋a3)＝8a1＋3a2，所以2a3－a2－6a1＝0.设{an}的公比为q(q>0)，则2a1q2－a1q－6a1＝0，即2q2－q－6＝0，解得q＝2或q＝－(舍去)．因为a4＝16，所以a1＝2，则S4＝＝30.[答案]306．已知数列{an}为正项的递减等比数列，a1＋a3＝，a2＝，记数列的前n项和为Sn，则使不等式2021·>1成立的最大正整数n的值为________．[解析]设数列{an}的公比为q，由数列{an}为正项的递减等比数列，a1＋a3＝，

5、a2＝，即＋a2q＝＋＝.解得q＝，q＝3(舍)，∴a1＝2，an＝2·.Sn＝＋＋＋…＋＝2×＝3，∴不等式2021>1，即2021×>1，3n<2021.此时n的最大正整数为6.[答案]67．设数列的前n项和为Sn，且Sn＝3an－p，其中p是不为零的常数．(1)证明：数列是等比数列．(2)当p＝2时，若数列满足bn＋1＝bn＋an(n∈N*)，b1＝2，求数列的通项公式．[解析](1)因为Sn＝3an－p(n∈N*)，则Sn－1＝3an－1－p(n∈N*,n≥2)，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3an－3an－1，整理得an＝an－1.由Sn＝3an－p，令

6、n＝1，得a1＝3a1－p，解得a1＝.所以是首项为，公比为的等比数列．(2)因为a1＝1，则an＝，由bn＋1＝an＋bn(n＝1，2，…)，得bn＋1－bn＝，当n≥2时，由累加得bn＝b1＋(b2－b`1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)＝2＋＝2，当n＝1时，b1＝2也满足上式．∴bn＝2，n∈N*.8．已知数列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝，记T2n为{an}的前2n项的和，bn＝a2n＋a2n－1，n∈N*.(1)判断数列{bn}是否为等比数列，并求出bn；(2)求T2n.[解析](1)∵an·an＋1＝，∴an＋1·an＋2＝，∴＝，即an＋

7、2＝an，∵bn＝a2n＋a2n－1，∴＝＝＝，∵a1＝1，a1·a2＝，∴a2＝，∴b1＝a1＋a2＝.∴{bn}是首项为，公比为的等比数列．∴bn＝×＝.(2)由(1)可得，an＋2＝an，∴a1，a3，a5…是以a1＝1为首项，以为公比的等比数列；a2，a4，a6，…是以a2＝为首项，以为公比的等比数列，∴T2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)＝＋＝3－.B组题1．正项等比数列{an}中，存在两项am，an(m，n∈N*)使得aman＝16a，且a7＝a6＋2a5，则＋的最小值为(　　)A．5