高维紧支撑正交对称的小波.pdf

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1、墟数学物理学报2010，30A(2)：375385http：／／actams．wipm．ac．cn高维紧支撑正交对称的小波杨守志何永滔(汕头大学数学系广东汕头515063)摘要：基于仿酉矩阵的对称扩充方法，该文提出了一种尺度因子为3的紧支撑高维正交对称小波构造算法．即设()∈L(R)是尺度因子为3的紧支撑d维正交对称尺度函数，P()是它的两尺度符号，p0，(∈)为P(∈)的相位符号．首先提出一种向量的对称正交变换，应用对称正交变换对3维向量(po，(∈))，∈Ea的分量进行对称化．通过仿酉矩阵的对称扩充，给出了3一1个紧支撑高维正交对称小波构造．这种方法构造的小波支撑不超过尺度函数的支撑．最后

2、给出一个构造算例．关键词：正交对称变换；仿酉矩阵的对称扩充；正交小波；正交尺度函数；对称性．MR(2000)主题分类：42C15；94A12中图分类号：0174．2文献标识码：A文章编号：1003—3998(2010)02—375111引言构造小波是小波分析理论中一个非常重要的问题，也是小波分析研究中的一个热点．有大量的文献研究小波的构造．多分辨分析是构造小波的重要方法，即从两尺度加细方程求出尺度函数，进而求得相应的小波．尺度因子为2的一维正交小波构造方法已经非常成熟(见文献【1])．文献[2]给出了尺度因子为4的紧支撑正交对称和反对称小波的构造方法．文献【3】给出了尺度因子为4的紧支撑正交小

3、波的构造算法．高维小波的构造要比一维小波的构造复杂．因为需要构造小波的个数由—1个变为M一1(其中M为尺度因子，d为维数)．文献【4]给出了一种尺度因子为矩阵情形下高维双正交小波的构造方法．利用Householder型矩阵扩充，文献[5]给出了尺度因子M=2情形下高维正交小波的显式构造算法．该算法具有简单易实施的优点．但由于在矩阵扩充显式公式中矩阵元素含有罗朗多项式分母，这将导致如下结果：所构造出的小波可能不能保持紧支撑性；另外，当所给的高维尺度函数具有紧支撑正交对称性时，所构造出的小波不能保持对称性．这将为应用带来很大的不便．文献[6—7]等研究了多元或多带滤波器的构造问题．本文从仿酉矩阵扩

4、充的角度出发，给出尺度因子M=3紧支撑高维正交对称小波的构造算法．构造算法是显式的，扩充所得的矩阵元素的分母中不含有多项式，所构造的小波具有紧支撑性，正交性，保持对称性等优良性质．并且很容易把结论推广到尺度因子为M(M3且为整数)的一般情形．收稿日期：2008—08—11；修订日期：2009—11-03E—mail：szyang~stu．edu．cn基金项目：广东省自然科学基金(032038，05008289)、广东省自然科学博士基金(04300917)和汕头大学青年科研基金资助376数学物理学报Vl01．30A2预备知识在本文中，对()中的函数．厂()的傅里叶变换定义为：()=‘厂()．e一

5、dx，其中，∈，∈·表示欧氏内积．如果一个子空间族{)满足下列条件：(1)c+1，vj∈z；(2)ClOSLz(UVj)-L()；(3)n(yj)={0)；(4)，(·)∈yjf(3·)∈+l；(5)存在一个J∈ZJ∈Z函数()，使得{(·一)；∈Z)构成的标准正交基．空间序列{)称为由()生成的多分辨分析(MRA)．函数()∈()称为正交尺度函数．此时Yj=cIOSL2(Ra)(3j。d9【一)；kEZ)，jcZ．(1)定义为在vj+l中的正交补子空间，则有正交直和分解：+1=vj(壬》wj．根据小波分析理论，有下面结论．命题1设西∈L()是一个尺度因子为M的正交尺度函数．则小波空间Wo可以

6、分解为Md一1个子空间的正交直和，即存在M一1个函数()，它们的平移{(一)；=1，2，⋯，M—1，∈Z构成Wo的正交基．特别地，当M=3时，可以得到命题2设给定了()的一个正交多分辨分析{)，()∈使得{(一))构成的一个标准正交基，则小波空间)可以分解为3d一1个子空间的正交直和，即存在3一1个函数()，它们的平移{(一)；=1，2，⋯，3一1，k∈Zd}构成Wo的正交基．为了叙述的简单清晰，下面以M=3为例说明高维正交小波的构造．相应的结果可以容易推广到其它情形．由多分辨分析理论知，()，()，=1，2，⋯，3一1分别满足下面方程(z)=dk(3一)，(2)FZd()=∑口芒(3一)，=

7、l2一，3一1，(3)∈Za其中{)，{q~}el称为两尺度序列．显然(2)和(3)两式分别等价于㈥一P()，(4)㈥=善)，(5)其中P(f)=i1∑e雒，Q(∈)=1∑q￡e一埏分别称为低通滤波器和高通滤波器．3高维正交小波的构造设()是尺度因子为3的d维正交尺度函数．构造x)=3g(3一)，(6)其中∈Ed，Ed为方体【0，2]d上的整点．因为{3d咖(3一))是的标准正交基，所以有[，=∑