m 尺度正交双向小波的构造.pdf

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1、第27卷第1期纺织高校基础科学学报V01．27，No．12014年3月BASICSCIENCESJOURNALOFTEXTILEUNIVERSITIESMarch，2014文章编号：1006—8341(2014)01—0096—07m尺度正交双向小波的构造李万社，房小蒙，张洪涛(陕西师范大学数学与信息科学学院，陕西西安710062)摘要：将2尺度双向加细函数和双向小波的研究以及相关性质推广到m尺度．同时，给出了双向加细函数和双向小波在对称与反对称时应满足的条件．最后研究了如何利用正交尺度函数和对应的正交小波．构造正交双向小波，并给出了具体算例．关

2、键词：双向加细函数；多分辨分析；双向小波；对称性；正交性中图分类号：0177．1文献标识码：A0引言小波分析是近年来迅速发展起来的新兴学科，它同时具有理论深刻和应用广泛的双重意义．它的应用范围包括了数学领域的很多学科，以及信号分析、图像处理、地震勘探数据处理、边缘检测、机器故障诊断等多个方面[1q]．2带小波的理论研究已趋于完善，但是DaubechiesL4]证明对于任何的2带小波，除了Haar小波以外不存在同时具有正交对称紧支撑性的小波．为了解决这个问题，人们将2带小波推广到了多小波[5]，就是用多个函数的伸缩和平移形成L(尺)空间的基底，但是

3、放弃2带小波，使用多带小波也可以解决这个问题．杨守志等人L8提出了双向加细方程的概念，并引入了双向正交尺度函数和双向小波函数，进而得到了一系列的理论和结果．双向加细方程是加细方程的推广，因此基于双向正交加细函数能得到具有良好性质的双向正交小波．文献[10—11]研究了2带正交双向小波和2带双正交双向小波的性质和构造方法，文献[12—13]讨论了双正交双向小波的一些性质和构造算法．本文主要将2带正交双向小波的性质推广到尺度，同时给出了构造m尺度双向正交小波的方法，并给出了具体的算例。1基本概念定义1如果函数声(z)∈L(R)且满足下列双向加细方程乒

4、(z)一∑(懈一是)+∑(惫一mx)，(1)则称声(z)是双向加细函数，其中{)称为正向面具，()称为负向面具．对式(1)两边同时进行傅里叶变换有(叫)一(exp(-ko／m)~(／m)+P一(exp(-ico／m)(／m)．(2)其中P+(z)一z称为正向面具符号，P一()一P称为负向面具符号·收稿日期：2013—06—19基金项目：国家自然科学基金资助项目(1171201)通讯作者：李万社(1963一)，男，陕西省西安市人，陕西师范大学教授，研究方向为智能信号处理．E-mail：liwsh@snnuedu．cn第1期尺度正交双向小波的构造97

5、没为了讨论式(1)解的存在性，对式(1)变形得．(一z)=∑户j_(一mx一点)+∑声(眦+是)．(3)^∈Z^∈Z对式(3)两边做傅里叶变换得—一P+(exp(-—ko／m))+F(∞／，，z)．(4)由式(2)和(4)联立得P+(exp(一ioj／m))P一(exp(一iofm))(5)P一(exp(一ion~m))I升(exp(一ko／m))∑一P一，●●●●、●●【／，J●＼eX∑，∑，(6)西c一(声)一『芸箬懈_；)一fpP+k]c眦一++则式(5)是(6)在频域中的m尺度加细方程，它的加细面具是+抖一抖槲P()一fI【—P———]l

6、：=∑>l+p。。+lz．(7)一()(z)J屠【p—一p蚪^户+一Jp抖^显然式(1)有解当且仅当式(5)或者(6)有解．Ⅲ棚定义2设()是紧支撑的双向加细函数，则称j6(z)是正交双、，向加、，细函数，若满足<(z)，(一忌)>一80，女，({6()，(Z—z)>=Il0，k，一Z∈Z．(8)o定理1设fI(z)是满足式(1)的紧支撑的正交双向加细函数，则有∈(9)Z用正向面具符号和负向面具符号可以表示为m-Iexp(一i(+)))可+(10)p(一i(+)))P—oxp(一i(+)))m-1exp(一i(+)))P—oxp(一i(+)))一

7、o．证明由双向加细函数声()的正交性知(jI(z)，拳(—z)>一(∑Ep+(眦一是)+p(一眦)]，∑Ep*{6(舭一ml一)+p庐(一ZtZ．TC+z)])一∑∑[p<(眦一是)，(～一(ml+))>+∑∑p((舭一是)，((+)一眦)>+(j5(忌一懈)，(懈一(+))>+p户<(矗一mx)，{I((+)一眦)>-1一(”+p-[p28⋯)=(砌+舯==：所以∑(p户+P；P~-)一瑚0l2，即∑(pj_户，朋+p户)=m3，咒∈Z．同理可以证明∑(：'PS-，册+户)=0．由于98纺织高校基础科学学报第27卷m—l∑=0[(exp(一i(

8、∞+)))Poxp(一i(+)))+P一(exp(-i(+)))P一(exp(一i(+)))]一pexp(_一)expI(志一2rr／+