第11章正交小波构造

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1、第11章正交小波构造我们在上一章中集中讨论了离散小波变换中的多分辨率分析，证明了在空间中存在正交归一基，由作尺度伸缩及位移所产生的是中的正交归一基。是尺度函数，在有的文献中又称其为“父小波”。同时，我们假定的正交补空间中也存在正交归一基，它即是小波基，为小波函数，又称“母小波”。本章，我们集中讨论如何构造出一个正交小波。所谓“正交小波”，指的是由生成的，或空间中的正交归一基。Daubechies在正交小波的构造中作出了突出的贡献。本章所讨论的正交小波的构造方法即是以她的理论为基础的。11.1正交小波概述现在举两个

2、大家熟知的例子来说明什么是正交小波及对正交小波的要求,一是Haar小波，二是Shannon小波。1.Haar小波我们在10.1节中已给出Haar小波的定义及其波形，见图10.1.1(d)，Haar小波的尺度函数如图10.1.1(a)所示。重写其定义，即(11.1.1)(11.1.2)显然,的整数位移互相之间没有重叠，所以345，即它们是正交的。同理，。很容易推出和的傅里叶变换是注意式中实际上应为。由于Haar小波在时域是有限支撑的，因此它在时域有着极好的定位功能。但是，由于时域的不连续引起频域的无限扩展，因此，它

3、在频域的定位功能极差，或者说频域的分辨率极差。上一章指出，Haar小波对应的二尺度差分方程中的滤波器是：，(11.1.5)它们是最简单的两系数滤波器。2.Shannon小波令(11.1.6)则(11.1.7)由于(11.1.8)所以构成中的正交归一基。称为Shannon小波的尺度函数。由于，，由二尺度性质，，因此(11.1.9)这样，对，有345(11.1.10)于是可求出(11.1.11)读者可很容易验证(11.1.12)也即构成中的正交归一基。其实，从频域可以看到，和各自及相互之间的整数移位都没有重叠，因此它

4、们是正交的，如图11.1.1所示。345图11.1.1Shannon小波及其尺度函数度频域波形显然，Shannon小波在频域是紧支撑的，因此，它在频域有着极好的定位功能。但频域的不连续引起时域的无限扩展，也即时域为Sinc函数。这样，Shannon小波在时域不是紧支撑的，有着极差的定位功能。Haar小波和Shannon小波是正交小波中两个极端的例子。自然，我们欲构造的正交小波应介于两者之间。9.4节给出了能作为小波的函数的基本要求，即：应是带通的；由于，因此它应是振荡的；应满足(9.3.9)式的容许条件；还应满足

5、(9.4.4)式的稳定性条件；此外，、最好都是紧支撑的。由二尺度差分方程，、均和、有着内在的联系。重写(10.4.14)式和(10.4.15)式，有(11.1.13)(11.1.14)这两个式子明确指出，正交小波及其尺度函数可由共扼正交滤波器组作无限次的递推来产生。这一方面给我们指出了构造正交小波的途径，另一方面也指出，在(11.1.13)和(11.1.14)式的递推过程中还存在着一个收敛的问题，这就要求对小波函数还要提出更多的要求，如11.3节要讨论的消失矩和规则性等问题。为说明这些问题，我们在下一节首先讨论如

6、何由(11.1.13)和(11.1.14)式递推求解和的问题，并说明其中可能存在的问题。11.2由递推求解的方法。(10.4.4)式给出了由递推求解和的方法。即(11.2.1a)(11.2.1b)345此即二尺度差分方程，对应的频域关系由(11.1.13)和(11.1.14)式给出。假定和事先是未知的，当然(11.2.1)式无法利用，这时可用(11.1.13)式或(11.1.14)式递推求解和。若令(11.2.2a)并用它来近似，那么(11.2.2a)式对应的时域关系是(11.2.2b)式中,是由每两点插入一个点

7、所得到的新序列。同理，是将每两点插入个零所得的新序列。假定的长度为，则的长度为，的长度为，的长度为，,其余可类推。由此可以看出，(11.2.2)式卷积的结果将使的长度急剧增加。例如，若令，则345如此，当趋近于无穷时，逼近，“逼近”连续函数，但这一“逼近”，需要将接近于无限长的压缩回到有限的区间内。由于的长度为，我们假定的“长度”也为，只不过此处范围代表的是连续时间的序号。也即，的时间持续区间是，在这一范围内应包含的所有点，压缩比等于的长度/。MATLAB中的wavefun.m文件可以实现上述的递推算法。对(11

8、.2.1a)式，若令(11.2.3)并令(11.2.4)则当时，逼近尺度函数。若给定，则利用(11.2.3)式递推的结果如图11.2.1所示。由该图可以看出，,都是阶梯状的分段连续曲线，当时，已是一光滑的连续曲线。这说明，按给定的，(11.1.13)式求出的是收敛的。假定将改为，则由(11.2.3)和(11.2.4)式递推的结果示于图11.2.2[10,21]。这时的产生