紧支撑样条小波插值及其应用.pdf

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1、2013年12月纯粹数学与应用数学Dee．2013第29卷第6期PureandAppliedMathematics、，o1．29NO．6紧支撑样条小波插值及其应用高忠社，何万生，谢保利(天水师范学院数学与统计学院，甘肃天水741000)摘要：基于紧支撑样条小波函数插值与定积分的思想，给出了由紧支撑样条小波插值函数构造数值积分公式的方法．并将该方法应用于二次、三次、四次和五次紧支撑样条小波函数，得到了相应的数值积分公式．最后，通过数值例子验证，发现该方法得到的数值积分公式是准确的，且具有较高精度．关键词：紧支撑样条小波函数；插

2、值函数；数值积分中图分类号：O24．82文献标识码：A文章编号：1008—5513(2013)06—0591—10DoI：10．3969／j．issn．1008—5513．2013．06．0071紧支撑样条小波函数小波函数在众多科学领域得到了广泛的应用，如数值分析、信号处理、图像处理、微分方程数值解、量子力学、地质勘查、计算机视觉、机械故障诊断等，小波函数在数值分析中的应用是一个重要分支．通常大多数小波函数不能写出具体的解析表达式，而1992年文献⋯构造的紧支撑样条小波函数具有解析表达式，且该小波函数具有很多良好的性质，并被

3、广泛的应用于众多科学领域．紧支撑样条小波是以B一样条函数作为尺度函数构造的．它具有很好的性质，如：有解析表达式、对称性、单正交性和消失矩等良好的性质【1．41．文献[4—5，7]讨论了紧支撑样条小波函数的性质，及插值函数，并证明了该插值函数具有唯一性，文献f8-91讨论了三次紧支撑样条小波函数的插值并得到相应的数值积分公式，文献『101给出了二次紧支撑样条小波函数插值及数值积分公式．在这里将主要讨论紧支撑样条小波函数的插值问题，并讨论紧支撑样条小波函数在数值积分方面的应用问题，给出了由紧支撑样条小波插值函数构造数值积分公式的

4、方法，该方法为紧支撑样条小波函数在数值分析中的应用有一定作用，而得到的数值积分公式有一定的实用价值．紧支撑样条小波函数Cm(x)是由m阶m一1次B一样条函数Ⅳm()作为尺度函数，构造收稿日期：2013—10-01．基金项目：甘肃省教育厅科学研究基金(1108B一03)．作者简介：高忠社(1979一)，硕士，讲师，研究方向：小波分析及微分方程数值解592纯粹数学与应用数学第29卷的m阶m一1次紧支撑样条小波函数m()，m()函数具有解析表达式：12m-23m-2()：E(-1)Ⅳ2m0+1)(2x—J)=Eg·Ⅳ2m(2一礼)

5、．(1)其中，一()n-j+l，j=0m()具有如下性质：(1)对称性：(+)-c一m()(2)单正交性：(Ⅳm(—p)，x—q))=0，其中P，q∈z；(3)消失矩：／’m(x)dx：0，0Jm一1；√一(4)连续可微性：mx)具有m一1阶连续导数．Ⅳm()是m阶m一1次B一样条函数，定义为Nm()=Nm—l()·N1()=／—l(—t)dt=0，m=2，3，⋯．(2)0()是分段多项式，分段区间长度是Ⅳm()的一半，并且suppmx)=【0，2m一1]．文中将主要讨论以m阶m一1次紧支撑样条小波函数为基函数，构造的一类m

6、阶m一1样条小波插值函数，给出插值函数的构造过程及误差，然后将其应用于数值积分，得到新的数值积分公式，在此主要讨论二次、三次、四次和五次紧支撑样条小波函数的插值问题，及插值函数在数值积分中的应用．2紧支撑样条小波插值函数设m阶m一1次紧支撑样条小波函数的平移{m(一礼)]．n∈z构成了中的一组基函数，设(+)，将m阶m一1次紧支撑样条小波函数向左平移仇一0．5个单位，由于suppx)=[0，2m一1]，得㈤=卜，1．根据(1)式有m(z)=_E(-1)iN2m(j+1)N~m(2+2m一1一歹)=E‰．N2(2+2m一1一似

7、)．(3)第6期高忠社等：紧支撑样条小波插值及其应用593其中F(m)N,mcn-j+l，由文献【6】知=(，于是=‰·(k)(2x+2m-l-n-k设f(x)∈Via，6]，对任意给定的[a，6I的剖分⋯

8、)(、—+2m-l-n-k)m+～．‘(6)其中，一Cm((蚪)，由文献[5]可知()关于=(一1)m对称，并且满足在节点处函数值相等，丢=，(姜)，i=0，1，2，⋯，2Ⅳ；端点处满足导数相应的条件’：，(“)(姜)，=1，2，⋯，丝2—1，i=0，Ⅳ；需要满足2N+m一1个插值条件，即