样条插值及应用深入研究

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1、报告题目《样条插值及应用》深入研究学院：专业：机械工程组号：成员：日期：《样条插值及应用》研究第一章对象描述《样条插值及应用》的描述自上世纪60年代以来，由于航空造船等工程设计的需要，发展了样条插值技术，现在样条函数越来越流行，它不仅是现代函数逼近的一个活跃的分支，而且也是现代数值计算中一个十分重要的数学工具。它以各种方式应用到逼近论、数据拟合、数值微分、数值积分、微分方程和积分方程的数值求解中。在外形设计乃至计算机辅助设计的许多领域，样条函数都被认为是一种有效的数学工具。设只力是定义在［⑦切上的函数，在〔⑦切上有一个划分△:(1.1)a=x0<•-

2、（1）$（兀）在每区间厶二［九心］（心12・・訂）上是口次多项式；（2）函数5（%）在［讪上有加-1阶连续导数.则称只兀）是关于划分△的一个加次样条函数。简单地说，样条函数就是由一些具有某些连续性条件的子区间上的分段多项式构成的。若样条函数Hx）还满足条件：（3）对给定的某函数在节点上的函数值/>/（兀）（心0，l，・・M）,且$（兀）=力仃=0,1,2,•••,〃），（］2）则称HR是/（兀）关于划分△的一个加次样条插值函数。二.《样条插值及应用》的相关概念1.2.1插值法设函数〉=/（兀）在区间［⑦切上有定义，且已知在点ci

3、若存在一简单函数（p（x）f使得(1.3)（p（xi）=yi（i=OX-^n）成立，就称俠X）为/（兀）的插值函数，点兀（心。」，…/）为插值节点，包括插值节点的区间山切称为插值区间，求插值函数0（兀）的方法称为插值法。插值的任务就是由已知的观测点，为物理量（未知量）建立一个简单的、连续的解析模型,以便能根据该模型推测该物理量在非观测点处的特性。常用的插值函数类｛0（力｝是代数多项式，相应插值问题是代数插值。1.2.2线性样条插值函数若函数$⑴在［⑦切上连续，且在每个小区间［"畑〕上是一次多项式，其屮°=&〈…―严是给定节点，则称S（X）是节点弘和…忑上的一次样条函数.若在节点兀

4、上给定函数值y产兀无）（2°丄・・・必）,并成立z=0,1,•••,/?/1八则称Hx）为一次样条插值函数。1.2.3二次样条插值函数若函数$⑴在［“］上一阶导数连续,且在每个小区间［"和］上是二次多项式,其中°=兀0vX,v…7"是给定节点，则称应）是节点兀0內，…，百上的二次样条函数。若在节点坷上给定函数值%=/（“）（心°」，…必）,并成立£（£）=%，z=0,1,•••,/?/1则称H”）为二次样条插值函数。1.2.4三次样条插值函数若函数3（兀）在匕切上二阶导数连续，且在每个小区间丸，兀冲］上是三次多项式，其屮°=兀°v旺是给定节点，则称H兀）是节点勺內，…，百上的三次

5、样条函数。若在节点毎上给定函数值兀=/（兀）（心0丄•••，）,并成立S（兀）二X，Z=0,1,---,n（L6）则称Hx）为三次样条插值函数。1.2.5弧样条曲线在平面上给定有序的77+1个型值点"｝（心0,1,…,N）,过每个型值点作一圆弧，使分别过相邻两个型值点的二圆弧，在垂直且平分此二点连线的直线上相交并相切。按这种方法由圆弧连成的整个曲线是连续的且它的切线也是连续变动的，而曲率则分段为常数。这样的曲线称为圆弧样条曲线。1.2.6B•样条曲线在数学的子学科数值分析里，B■样条是样条曲线一种特殊的表示形式。它是B■样条基曲线的线性组合。B-样条是贝兹曲线的一种一般化，可以进

6、一步推广为非均匀有理B样条（NURBS）,使得我们能给更多一般的几何体建造精确的模型。(1.7)1.2.7截断函数0x<0三.《样条插值及应用》的相关理论定理1：设为实数，满足VoUV%，%>%；•?则存在唯一的一个三次插值样条函数和它的一组插值节点如旳…心使得:s(xi)=yi(〃=0丄・・・/)s'(x.)=0(n=O,l/**,n)(1.8)0二兀°<西<-

7、院^研究生学院专业：机械工程组号：39成绩:(L10)38定理3：设/（x）wC4S,b],$（兀）为满足第一种或第二种边界条件的三次样条函数，令h~b=xi+i-x((i=0,1,•••,〃-1)，则有估计式餾imx嚼I/⑷⑴”严，“0,1,2这个定理不但给出了三次样条插值函数'（X）的课差估计，而且说明当力t°时，HQ及其一阶导数F⑴和二阶导数八⑴均分别一致收敛于/（X），广⑴及•厂（叭定理4：$（"△）中的n+m个样条函数(1.11){H}£=0,1,2,…，加{(兀_兀)