三次样条插值

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1、三次样条插值1.算法原理由于在许多实际问题中，要求函数的二阶导数连续，人们便提出了三次样条插值函数，三次样条插值函数是由分段三次函数拼接而成的，在连接点处二阶导数连续。设S(x)在节点处的二阶导数，其中为待定参数。由S（x）是分段三次多项式可知，是分段线性函数，在子区间上可以表示为其中，对S（x）两端积分两次得其中和为积分常数。由插值条件得由此解得代入得：求导得：令得在处的左导数又令得在处右导数，从而有，由在节点处一阶导数的连续性知，即两端同乘得，记，，则关于的方程组写成。三种边界条件的三弯矩方程：（1）第一种边界条件：已知。取，这时方程组减少了两个未知量，变成只含n-1个未知量的n-1个方程

2、的方程组，用矩阵表示为可用追赶法求解出后，即得三条样条插值函数。（2）第二种边界条件，已知，记，则有，得，即，其中，得到方程组，用矩阵表示为，该方程组的系数矩阵是严格三对角占优矩阵，可用追赶法求解。（3）第三种边界条件：周期型边界条件。已知是以为周期的周期函数，则由周期性可知，，这时将点看成是内节点，则有，也即，其中，方程组第1个方程为：，所以方程组为，用矩阵表示为，显然系数矩阵为严格对角占优矩阵，可用LU分解法求解。1.程序框图2.源程序functionx=mchase(A,d)%追赶法n=length(d);u=zeros(n,1);u(1)=A(1,1);fork=2:nl(k)=A(k

3、,k-1)/u(k-1);u(k)=A(k,k)-l(k)*A(k-1,k);endy=zeros(n,1);y(1)=d(1);fori=2:ny(i)=d(i)-l(i)*y(i-1);endx=zeros(n,1);x(n)=y(n)/u(n);fori=n-1:-1:1x(i)=(y(i)-A(i,i+1)*x(i+1))/u(i);endxendfunctionT=mspline1(x0,y0,f21,f22,xx)%三次样条插值函数第一种边界条件%x0、y0分别为节点的横坐标和纵坐标；%f21为左端点的二阶导数值,f22为右端点的二阶导数值；xx为由插值点组成的向量n=length

4、(x0)-1;%计算小区间数fori=1:nh(i)=x0(i+1)-x0(i);endfori=1:n-1mu(i)=h(i)/(h(i)+h(i+1));lamda(i)=1-mu(i);d(i)=6*((y0(i+2)-y0(i+1))/h(i+1)-(y0(i+1)-y0(i))/h(i))/(h(i)+h(i+1));endA=zeros(n-1);fori=1:n-2A(i+1,i)=mu(i+1);%次下对角线A(i,i+1)=lamda(i);%次上对角线A(i,i)=2;%主对角线endA(n-1,n-1)=2;dd=zeros(n-1,1);%右端列向量fori=2:n-2

5、dd(i)=d(i);enddd(1)=d(1)-mu(1)*f21;dd(n-1)=d(n-1)-lamda(n-1)*f22;M=mchase(A,dd);%追赶法求解M值hmulamdaAddM=[f21,M',f22]'t=sym('t');a=zeros(n,1);b=zeros(n,1);c=zeros(n,1);e=zeros(n,1);fori=1:na(i)=M(i)./(6*h(i));b(i)=M(i+1)./(6*h(i));W1(i)=b(i)-a(i);W2(i)=3*(a(i).*x0(i+1)-b(i).*x0(i));c(i)=y0(i)./h(i)-h(i)

6、.*M(i)/6;e(i)=y0(i+1)./h(i)-h(i).*M(i+1)/6;W3(i)=3*b(i).*x0(i).^2-3*a(i).*x0(i+1).^2+e(i)-c(i);W4(i)=a(i).*x0(i+1).^3-b(i).*x0(i).^3+c(i).*x0(i+1)-e(i).*x0(i);Si(t)=W1(i).*t^3+W2(i).*t^2+W3(i).*t+W4(i)%每个小区间的三次样条差值函数表达式endm=length(xx);T=zeros(m,1);fork=1:mforj=1:nif((xx(k)>=x0(j))&(xx(k)

7、k)=W1(j).*(xx(k).^3)+W2(j).*(xx(k).^2)+W3(j).*xx(k)+W4(j);endendendTEndfunctionT=mspline2(x0,y0,f11,f12,xx)%三次样条插值函数第二种边界条件%x0、y0分别为节点的横坐标和纵坐标；%f11为左端点的二阶导数值,f12为右端点的二阶导数值；xx为由插值点组成的向量n=length(x0)-1;%