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1、样条插值实验报告四、三次样条插值1.样条函数插值的原理给定区间[a,b]上划分?:a?x0?x1??xn?1?xn?b，若分段函数S(x)满足：,n?1上均为x的三次多项式；1.S(x)在各个子区间[xi,xi?1]，i?0,1,2.S(x)在整个区间[a,b]上有直至二阶的连续导数。则称S(x)为[a,b]上依次划分的三次样条函数，简称样条函数。具体地有分段表达式：?a0x3?b0x2?c0x?d0,x?[x0,x1]?32?a1x?b1x?c1x?d1,x?[x1,x2]?S(x)??a2x3?b2x2?c2x?d2,x?[x2,
2、x3]???an?1x3?bn?1x2?cn?1x?dn?1,x?[xn?1,xn]?共有4n个参数ai,bi,ci,di,i?0,1,?S(xi?0)?S(xi?0),?''?S(xi?0)?S(xi?0),i?1,2,?''''S(x)?S(xi?0),i?0?(1),n，它们在内节点处满足,n?1.(2)满足样条函数定义的函数集合称为分划?上的三次样条函数空间，记为S(3,?)，可以证明S(3,?)为线性空间。若S(x)?S(3,?)，且进一步满足插值条件S(xi)?yi?f(xi
3、),i?0,1,,n(3)其中yi为节点xi处的给定函数值（若被插函数f(x)已知，则用f(xi)代替之），则称S(x)为以x0,x1,,xn?1,xn为节点的三次样条函数。其中式（3）插值节点提供了n?1个约束条件，加上式（2）的3n?3个，合起来共有4n?2个，欲求4n个待定参数的唯一解，尚缺两个条件。这两个条件一般由样条函数的边界条件提供。常用三类边界条件，他们分别与三次样条函数，构成不同边界条件的样条函数插值问题。2.三类样条函数插值问题2.1第二类边界条件给定边界条件两端的一阶导数值：''S'(x0)
4、?y0?m0,S'(xn)?yn?mn这相当于样条两短处的方向给定（压铁在两端点的压力方向确定），对应的插值问题如下：对于分划?:a?x0?x1??xn??1xn?b，给定节点对应的函数值y0,y1,y2,S(x)，使'',yn，以及两端点处的一阶导数值y0?m0，yn?mn，求三次样条函数??S(xi)?yi,i?0,1,,n?''??S(x0)?m0,S(xn)?mn2.2第一类边界条件给定边界两端的二阶导数值：''''S''(x0)?y0?M
5、0,S''(xn)?yn?Mn这相当于在样条两端处外加一个力矩，使梁两端点处有相应的曲率。对应的插值问题如下：对于划分?:a?x0?x1??xn??1xn?b，给定节点对应的函数值y0,y1,y2,S(x)，使'',yn，以及两端点处的二阶导数值y0?m0，yn?mn，求三次样条函数??S(xi)?yi,i?0,1,2,,n?''''S(x)?M,S(x)?M?00nn?''''特别地，若y0?M0?0,yn?Mn?0，这相当于样条边界上不
6、加力矩，样条在边界处是自由的，这样的样条称为自由样条，边界条件称为“自由边界条件”。2.3第三类边界条件被插函数f(x)是以xn?x0为周期的周期函数时，则要求S(x)也是周期函数，此时边界条件应满足：?S(x0?0)?S(xn?0),?''?S(x0?0)?S(xn?0),?''''?S(x0?0)?S(xn?0),而且还要加上y0?yn。这样得出的S(x)称为周期样条插值函数。3.三次样条插值问题的实际求解本部分分别编写了三次样条插值在第一类边界条件（二阶导数），第二类边界条件（一阶
7、导数），第三类边界条件（周期函数）下求解的matlab程序，并给出了实际例子进行求解。3.1第一类边界条件的插值求解程序function[f,f0]=spline1(x,y,y_1,y_N,x0)symst;f=0.0;f0=0.0;if(length(x)==length(y))n=length(x);elsedisp('x和y维数不相等');return;end%维数检查fori=1:nif(x(i)<=x0)&&(x(i+1)>=x0)index=i;break;endend%找到待求
8、解x0值所在的区间A=diag(2*ones(1,n));%求解m的系数矩阵u=zeros(n-2,1);lamda=zeros(n-1,1);c=zeros(n,1);fori=2:n-1u(i-1)=(x(i)-x(
