具有整数值伸缩矩阵的三维紧框架小波的存在性.pdf

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1、第42卷第11期数学的实践与认识Vo1．42．NO．112012年6月MATHEMATICSINPRACTICEANDTHEORYJun．，2012具有整数值伸缩矩阵的三维紧框架小波的存在性黄娜，刘振贤z，程正兴s，陈清江(1．南阳理工学院数理学院，河南南阳473004)(2．新野县教师进修学校，河南新野473500)(3．西安交通大学理学院，陕西西安710049)(4．西安建筑科技大学理学院，陕西西安710055)摘要：引进了三维紧框架小波的概念，它是由框架多分辨分析中子空间X1中的若干个三维函数r()，r。()，⋯，r()构成的．研究了对

2、应于三维尺度函数的三维紧框架小波的存在性．运用时频分析方法、滤波器理论、算子理论，给出这n个三维函数生成小波紧框架的充分条件，得到了由一个尺度函数()构造三维紧框架小波的显式公式．关键词：三维紧框架小波；框架多分辨分析；时频分析方法；矩阵伸缩；投影算子；逼近论方法l引言框架理论是继小波理论之后发展起来的一个新的研究方向，是调和分析、泛函分析、算子理论、非线性逼近论与信息理论相结合的产物，已经成为一些领域研究的重要课题，同时也是信号处理_1](如信噪分离与提取弱信号、信号的多尺度边缘检测、信号的奇异性分析等)、图像处理[0](如图像编码、图像压

3、缩、图像去噪、纹理分析、模式识别、图像边缘检测)、数据压缩[3]、抽样理论、地震勘探数据处理、数字通信等信息学科的重要分析工具之一．众所周知，构造正交(双正交)小波的算法对尺度函数(或多分辨分析)都有一些特殊要求，如要求尺度函数的平移构成其闭线性张成子空间的基或正交基，从而对相应的尺度函数有较强的约束条件，特别是随着空间维数的增加，即使对于较简单的伸缩矩阵，是否存在满足这种性质的多尺度函数也还是一个难题．作为正交小波基的推广，小波紧框架保持了正交小波基除正交性以外的几乎所有的良好性质．现实世界中大多数信息都是多维信息，多维小波与多维框架小波是

4、分析处理多维信息的常用工具．因而研究多维紧框架小波是必要而意义的．事实上，有许多三维尺度函数()所对应的尺度符号h0(7)满足∑Iho("7+2B丌)I1=1这里B是整数值伸缩矩阵，／2。表示商集Z0／Bz0的所有不同代表元，8=l&fiB)I表示所有不同代表元的个数，即1'，／22，⋯，使得收稿日期：2011—04—08资助项目：国家自然科学基金(10571113)；陕西省教育厅专项科研计划(11JK0468)192数学的实践与认识42卷Z。=U(+BZ。)，(+BZ。)n(+BZ。)=0，≠J=1受文[45]构造一维小波紧框架的思想启发，

5、可以用三维尺度函数构造三维紧框架小波．类似于多元小波，研究三维紧框架小波要比一维小波紧框架复杂得多，因此对三维紧框架小波研究决不能看成是对一维紧框架小波的直接推广．本文研究子空间x中他(礼s)个三维函数r()，r。()．⋯，()生成小波紧框架的充分条件，得到了由一个尺度函数(x)构造小波紧框架显式公式．定义1称向量族{咖)∈AC是可分的Hilbert空间的一个框架，如果存在常数0

6、A是一个紧框架．特别地，当A=B=I时，有下面的重构公式∈一(∈，)，V∈∈V(2)∈A设{)Jz是具有整数值伸缩矩阵B的一个三维框架多分辩分析，()是框架多分辨分析(FMRA)的尺度函数．由f()∈XoC1，所以存在序列{dv)∈12(z。)，使得()=_d砂(B一v)(3)V∈Z3在(3)两边做傅立叶变换，得到()=ho(BT)(BT)(4)其中^。(cv)=s∑dke-iv．称为符号函数．在本文中，不妨设∈Z3lira()=1(5)且Vf(y)∈L()，记，()一sY／。f(BJy一)，J∈Z，V∈Z。．对r两个三维函数．厂()，．q(

7、)∈L。(R3)，定义它们的内积为：(f，g)=／f(y)g(y)dyR3这里，g(Y)表示g(Y)的复共轭．定义2如果具有衰减性的三维函数lr()，r()，⋯，r”()∈X1的整数格点平移矩阵伸缩而生成的{{r())jz，kZ。)构成L。(R。)的紧框架，即．k∑∑∑r加1)l=lITl，VT()∈L2(R。)Z：17∈Zt，∈Z3则称r()，r()，⋯r()是一组具有矩阵伸缩B的三维紧框架小波．对十上述的三元函数r()，F2()，⋯，r()∈X1，有F()一q；~b(By一)，12--，n(6)l1期黄娜，等：县有整数值伸缩矩阵的三维紧框

8、架小波的存在性193在(6)两边实施傅立叶变换，并记^()=s∑e⋯。。”，12一，礼V∈Z3得到，，，．．。．，．．。。．．．．一，／()一(旦一)(B—)，=1