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时间:2020-05-09
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1、学案 指数与指数函数导学目标:1.了解指数函数模型的实际背景.2.理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算.3.理解指数函数的概念,并掌握指数函数的单调性与函数图象通过的特殊点.4.知道指数函数是一类重要的函数模型. 自主梳理1.指数幂的概念(1)根式如果一个数的n次方等于a(n>1且n∈N*),那么这个数叫做a的n次实数方根.也就是,若xn=a,则x叫做______________,其中n>1且n∈N*.式子叫做________,这里n叫做____
2、________,a叫做____________.(2)根式的性质①当n为奇数时,正数的n次实数方根是一个正数,负数的n次实数方根是一个负数,这时,a的n次实数方根用符号________表示.②当n为偶数时,正数的n次实数方根有两个,它们互为相反数,这时,正数a的正的n次实数方根用符号______表示,负的n次实数方根用符号________表示.正负两个n次实数方根可以合写成________(a>0).③()n=____.④当n为偶数时,=
3、a
4、=⑤当n为奇数时,=____.⑥负数没有偶次方根.⑦零的
5、任何次方根都是零.2.有理指数幂(1)分数指数幂的表示①正数的正分数指数幂是=________(a>0,m,n∈N*,n>1).②正数的负分数指数幂是=____________=____________(a>0,m,n∈N*,n>1).③0的正分数指数幂是____,0的负分数指数幂无意义.(2)有理指数幂的运算性质①asat=________(a>0,s,t∈Q).②(as)t=_______(a>0,s,t∈Q).③(ab)t=_______(a>0,b>0,t∈Q).3.指数函数的图象与性质a>1
6、00时,______;当x(2)当x<0时,________>0时,________;当x<0时,______(3)在(-∞,+∞)上是______(3)在(-∞,+∞)上是______自我检测1.下列结论中正确的有________(填序号).①当a<0时,=a3;②=
7、a
8、;③函数y=-(3x-7)0的定义域是(2,+∞);④若100a=5,10b=2,则2a+b=1.2.函数y=(a2-3a+3)ax是指数函数,则a=_______
9、_.3.如图所示的曲线C1,C2,C3,C4分别是函数y=ax,y=bx,y=cx,y=dx的图象,则a,b,c,d的大小关系为____________.4.若a>1,b>0,且ab+a-b=2,则ab-a-b的值为________.5.函数f(x)=ax-b的图象如图,其中a、b为常数,则下列结论正确的是________(填序号).①a>1,b<0;②a>1,b>0;③00;④010、b,求:(1);(2).变式迁移1 化简(a、b>0)的结果为____________.探究点二 指数函数的图象及其应用例2 已知函数y=()11、x+112、.(1)作出函数的图象(简图);(2)由图象指出其单调区间;(3)由图象指出当x取什么值时有最值,并求出最值.变式迁移2 若曲线13、y14、=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范围为________.探究点三 指数函数的性质及应用例3 如果函数y=a2x+2ax-1(a>0且a≠1)在区间[-1,1]上的最大值是14,求a的值.变式迁移3 已知函数f15、(x)=(+)x3.(1)求f(x)的定义域;(2)证明:f(-x)=f(x);(3)证明:f(x)>0.分类讨论思想例 (14分)已知f(x)=(ax-a-x)(a>0且a≠1).(1)判断f(x)的奇偶性;(2)讨论f(x)的单调性;(3)当x∈[-1,1]时f(x)≥b恒成立,求b的取值范围.【答题模板】解 (1)函数定义域为R,关于原点对称.又因为f(-x)=(a-x-ax)=-f(x),所以f(x)为奇函数.[3分](2)当a>1时,a2-1>0,y=ax为增函数,y=a-x为减函数,从而y16、=ax-a-x为增函数,所以f(x)为增函数.[6分]当00,且a≠1时,f(x)在定义域内单调递增.[10分](3)由(2)知f(x)在R上是增函数,∴在区间[-1,1]上为增函数,∴f(-1)≤f(x)≤f(1),∴f(x)min=f(-1)=(a-1-a)=·=-1.∴要使f(x)≥b在[-1,1]上恒成立,则只需b≤
10、b,求:(1);(2).变式迁移1 化简(a、b>0)的结果为____________.探究点二 指数函数的图象及其应用例2 已知函数y=()
11、x+1
12、.(1)作出函数的图象(简图);(2)由图象指出其单调区间;(3)由图象指出当x取什么值时有最值,并求出最值.变式迁移2 若曲线
13、y
14、=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范围为________.探究点三 指数函数的性质及应用例3 如果函数y=a2x+2ax-1(a>0且a≠1)在区间[-1,1]上的最大值是14,求a的值.变式迁移3 已知函数f
15、(x)=(+)x3.(1)求f(x)的定义域;(2)证明:f(-x)=f(x);(3)证明:f(x)>0.分类讨论思想例 (14分)已知f(x)=(ax-a-x)(a>0且a≠1).(1)判断f(x)的奇偶性;(2)讨论f(x)的单调性;(3)当x∈[-1,1]时f(x)≥b恒成立,求b的取值范围.【答题模板】解 (1)函数定义域为R,关于原点对称.又因为f(-x)=(a-x-ax)=-f(x),所以f(x)为奇函数.[3分](2)当a>1时,a2-1>0,y=ax为增函数,y=a-x为减函数,从而y
16、=ax-a-x为增函数,所以f(x)为增函数.[6分]当00,且a≠1时,f(x)在定义域内单调递增.[10分](3)由(2)知f(x)在R上是增函数,∴在区间[-1,1]上为增函数,∴f(-1)≤f(x)≤f(1),∴f(x)min=f(-1)=(a-1-a)=·=-1.∴要使f(x)≥b在[-1,1]上恒成立,则只需b≤
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