第6节 定积分的应用

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1、1一、微元法二、平面图形的面积第六节定积分的几何应用三、旋转体的体积四、平行截面面积已知的立体的体积2回顾曲边梯形求面积的问题一、定积分的元素法abxyo3面积表示为定积分的步骤如下（3）求和，得A的近似值（4）取极限，得A的精确值4abxyo提示面积元素56元素法的一般步骤：7这个方法通常叫做元素法．应用方向：平面图形的面积，体积。经济应用。其他应用。8二、平面图形的面积面积微元:(1)由连续曲线y=f(x)(f(x)0),直线x=a,x=b(a

2、形面积为xyoab10xyoab面积元素:(2)由连续曲线y=f(x),y=g(x),直线x=a,x=b(a

3、容易；(2)尽量少分块.19解例5y=x2t1120旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台1、旋转体的体积二、立体的体积21aboxy体积微元:旋转体的体积为22直线OP的方程为解例723例8xyOab解24例9解xy利用圆面积25xycdoxydc26例10解下面再介绍一个新方法.27oxyab套筒法:体积微元:28上例:oxyab29例11解“套筒法”推广：oxyab30解例1231解例1232解例13圆锥体积33解(1)例14y2xao34解(1)(2)导数左正

4、右负，为极大值点，即为最大值点，35二、立体的体积xxx+dxS(x)ab*2、已知平行截面面积求立体的体积36解建立坐标系如图,截面面积所以立体体积例6垂直于x轴的截面为直角三角形,37解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积38三、定积分在经济学中的简单应用设总成本函数为C=C(Q)，总收益函数为R=R(Q)，其中Q为产量，则总成本函数为则总收益函数为所以总利润函数为称为固定成本39某商品每周产量为Q，固定成本为200元，成本函数变化率为例15解求成本函数。如果该商品的销售单价为20元，且假设产品可以全部售出，求利润

5、函数L(Q)，并问每周产量为多少时，可获得最大利润？成本函数为40某商品每周产量为Q，固定成本为200元，成本函数变化率为销售收入为所以利润函数为得唯一驻点所以当每周产量时,利润最大,最大利润为例15解如果该商品的销售单价为20元，且假设产品可以全部售出，求利润函数L(Q)，并问每周产量为多少时，可获得最大利润？求成本函数。成本函数为41例16解所以需求函数为42四、小结定积分的元素法平面图形的面积旋转体的体积*平行截面面积已知的立体的体积43*思考题144思考题1解答xyo两边同时对求导45积分得所以所求曲线为46曲线

6、y=f(x)及直线y=kx+b,所围成的曲边梯形,求D绕直线y=kx+b旋转所成立体的体积.上有连续导数,D为※思考题247如右图示,L：NTMy=f(x)dlD曲线在M点处的切线MT为：思考题2解答48应用定积分的元素法，考虑子区间[x,x+dx].设相应于[x,x+dx]的曲线弧段在直线L上的投影长为dl,则当子区间的长充分小时,取切线MT上对应于右端点x+dx的点到垂线的距离为dl,则49而M点到直线L的距离为从而得所以曲边梯形D绕直线L旋转所成立体体积为50练习：P245习题六