第6章 定积分及其应用

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1、第六章定积分及其应用§6.1定积分的概念与性质教学内容提要1.定积分的几何与物理模型；2.定积分的定义；3.定积分的基本性质.教学目的与要求1.理解定积分的几何与物理模型；2.理解定积分的极限定义；3.了解定积分的基本性质.教学重点与难点定积分几何与物理模型的极限过程理解，平面图形面积的定积分表达.教学时数2教学过程：一、定积分的几何与物理模型1.求曲边梯形的面积1).曲边梯形的定义：由三条直线与轴和一条曲线围成的平面图形，称为曲边梯形。如下图（1.1）（1.2）（1.3），其中（1.2）（1.3）是特殊情形。图（1.

2、1）y=f(x)y=f(x)图（1.2）图（1.3）y=f(x)2).利用极限计算曲边梯形面积的步骤第一步：分割,将曲边梯形分成许多细长条。在区间[a,b]中任取若干分点：，把曲边梯形的底[a,b]分成n个小区间；，并记；过分点分别作轴的垂线，将曲边梯形分成个小曲边梯形，记第个曲边梯形的面积为；第二步：近似，将这些细长条近似地看作一个个小矩形。（如下图）第三步：求和，小矩形的面积之和是曲边梯形面积的一个近似值。即；第四步；取极限，当分割越细，所有小矩形的面积之和的极限，就是曲边梯形面积A的精确值。若记，则。可见，曲边梯

3、形的面积是一和式的极限。2.利用极限求变速直线运动的路程设某物体作直线运动，已知速度是时间间隔上的连续函数，计算在此段时间内物体经过的路程。第一步：分割,在区间中任取若干分点：，把分成个小区间，小区间的长记为；第二步：近似求和，；第三步：取极限，，其中。类似极限求曲边梯形面积的步骤可求得速度为的物体在时间间隔内经过的路程。可见，变速直线运动的路程也是一和式的极限。二、定积分的定义1．定积分的定义定义设函数在区间上有界，在中任插入若干个分点，把区间分成个小区间；，各小区间长记为任取，作和式，记，如果不论对怎样划分，也不论

4、在小区间上点怎样选取，只要时，和式总趋于确定的极限，这时则称极限为函数在区间上的定积分，记作，即其中：叫做被积函数；叫做被积表达式；x叫做积分变量；a叫做积分下限，b叫做积分上限；[a,b]叫做积分区间。如果在[a，b]上的定积分存在，也称在[a，b]上可积。否则，便称在[a，b]上不可积。1．几点注意(1)定积分上一个常数，而不定积分是的原函数的全体。(2)定积分的值只与被积函数以及积分区间有关，而与积分变量的记法无关。即(3)若时，我们规定。(4)若时，规定。2．定积分的存在性（1）若在[a，b]上连续，则在[a，

5、b]上可积。（2）若在[a，b]上有界，且只有有限个间断点，则在[a，b]上可积。（3）若已知可积，则的划分与的选取都可特殊，一般可等分区间，则选取为各子区间的端点。特别地若在上可积，则有。4.定积分的几何意义（1）若≥0，则的几何意义表示由曲线y=，直线x=a，x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积。yb（2）一般情形，的几何意义为：它是介于x轴，曲线y=，直线x=a，x=b之间的各部分面积的代数和。＋+a0x－5.定积分的物理意义物体以变速作直线运动，从时刻到时刻所经过的路程等于速度函数在区间上的定积分，即：。例1利用

6、定积分几何意义计算下列定积分（1）（2）例2试用定积分表示极限1．2．作业：练习册第28次§6.2定积分的性质教学内容提要定积分的七个基本性质.教学目的与要求了解定积分的基本性质.教学重点与难点定积分的积分可加性、保号性、估值定理、中值定理.教学时数2教学过程：一、定积分的基本性质性质1函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差)。即性质2被积函数的常数因子可以提到积分符号外。即性质3(定积分的区间可加性)注:不论a，b，c的相对位置如何，性质3总是成立的。例如，当a

7、a，b]上，，则。性质6。性质7。注:称为函数在区间上的平均值。例1利用定积分性质比较与的大小例2利用定积分性质估计定积分的范围作业：练习册第28次§6.3微积分基本公式教学内容提要1.牛顿—莱布尼茨公式；2.牛顿—莱布尼茨公式的理论证明。教学目的与要求1.掌握牛顿—莱布尼茨公式的正确使用；2.了解变上限积分函数的定义，掌握变上限积分函数的导数定理；3.了解牛顿—莱布尼茨公式的理论证明。教学重点与难点莱布尼茨公式的正确使用与变上限积分函数的求导。教学时数4教学过程：前一次讲了定积分的定义与性质其中我要指出的是定积分的存

8、在性，只要在上连续，定积分一定存在。但与积分变量无关。即：。本节将要揭示不定积分（即原函数）与定积分之间的关系，这就是微积分基本公式，常称为牛顿—莱布尼茨公式。一、牛顿、莱布尼兹公式1.牛顿、莱布尼兹公式的运动学背景有一物体在一直线上运动，设该直线与数轴重合。设时刻时物体所在的位置为，速度为，由第一节知物体在时间间隔内经过的路程。